Empaquetamiento cerrado de esferas iguales - Close-packing of equal spheres

Ilustración del empaquetamiento compacto de esferas iguales en las celosías HCP (izquierda) y FCC (derecha)

En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición (o celosía ) regular e infinita . Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta, es decir, la mayor fracción de espacio ocupado por esferas, que se puede lograr mediante un empaquetamiento de celosía es

.

La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternos de los mismos planos de esferas empaquetados, incluidas estructuras que son aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler establece que esta es la densidad más alta que puede lograrse mediante cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue probada por TC Hales . La densidad más alta se conoce solo en el caso de 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones.

Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetamiento compacto de un solo tipo de átomo, o un empaquetamiento compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las disposiciones cúbica y hexagonal están muy próximas en energía, y puede ser difícil predecir qué forma se preferirá a partir de los primeros principios.

Celosías FCC y HCP

Disposición FCC vista en la dirección del eje de 4 pliegues
FCC HCP
Plano Cuboctaedro B2.png Cuboctaedro 3 planos.png Triangular orthobicupola wireframe.png
La disposición FCC se puede orientar en dos planos diferentes, cuadrado o triangular. Estos se pueden ver en el cuboctaedro con 12 vértices que representan las posiciones de 12 esferas vecinas alrededor de una esfera central. La disposición de HCP se puede ver en la orientación triangular, pero alterna dos posiciones de esferas, en una disposición de ortobicúpula triangular .

Hay dos celosías regulares simples que logran esta densidad promedio más alta. Se llaman cara cúbica centrada ( FCC ) (también llamado cúbico cerca lleno ) y hexagonal de empaquetamiento compacto ( HCP ), en función de su simetría . Ambos se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; difieren en cómo se apilan las hojas unas sobre otras. Los matemáticos también conocen el enrejado de la FCC como el generado por el sistema de raíces A 3 .

Problema de bala de cañón

Balas de cañón apiladas sobre una base triangular (frontal) y rectangular (trasera) , ambas celosías FCC .

El problema del empaquetamiento compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre cómo apilar balas de cañón en los barcos en su expedición a América. Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambos arreglos producen una celosía cúbica centrada en las caras, con diferente orientación al suelo. El empaque cerrado hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.

Bolas de nieve apiladas en preparación para una pelea de bolas de nieve . La pirámide delantera es hexagonal compacta y la trasera es cúbica centrada en la cara.

El problema de la bala de cañón pregunta qué arreglos cuadrados planos de balas de cañón se pueden apilar en una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica o y conjeturó que las únicas soluciones son y . Aquí está el número de capas en la disposición de apilamiento piramidal y es el número de balas de cañón a lo largo de un borde en la disposición cuadrada plana.

Colocación y espaciado

Tanto en los acuerdos FCC como HCP, cada esfera tiene doce vecinos. Por cada esfera hay un espacio rodeado por seis esferas ( octaédrica ) y dos espacios más pequeños rodeados por cuatro esferas (tetraédrico). Las distancias a los centros de estos espacios desde los centros de las esferas circundantes es 32 para el tetraédrico y 2 para el octaédrico, cuando el radio de la esfera es 1.

En relación con una capa de referencia con posicionamiento A, son posibles dos posicionamientos más B y C. Cada secuencia de A, B y C sin repetición inmediata de la misma es posible y proporciona un empaquetamiento igualmente denso para esferas de un radio dado.

Los más regulares son

  • FCC = ABC ABC ABC ... (cada tercera capa es la misma)
  • HCP = AB AB AB AB ... (todas las demás capas son iguales).

Hay un número infinito incontable de arreglos desordenados de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC ...) que a veces se denominan colectivamente "empaquetaduras de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow

En empaquetamiento compacto, el espaciado de centro a centro de las esferas en el plano xy es una simple teselación en forma de panal con un paso (distancia entre los centros de las esferas) de un diámetro de esfera. La distancia entre los centros de las esferas, proyectada en el eje z (vertical), es:

donde d es el diámetro de una esfera; esto se sigue de la disposición tetraédrica de esferas compactas.

El número de coordinación de HCP y FCC es 12 y sus factores de empaquetamiento atómico (APF) son iguales al número mencionado anteriormente, 0,74.

Comparación entre HCP y FCC
Cerrar packaging.svg
Figura 1 - La celosía HCP (izquierda) y la celosía FCC (derecha). El contorno de cada celosía Bravais respectiva se muestra en rojo. Las letras indican qué capas son iguales. Hay dos capas "A" en la matriz HCP, donde todas las esferas están en la misma posición. Las tres capas de la pila FCC son diferentes. Tenga en cuenta que el apilamiento de FCC se puede convertir al apilamiento de HCP mediante la traslación de la esfera superior, como se muestra en el contorno punteado.
Celda unitaria compacta hexagonal.jpg Esferas compactas, con luz de paraguas y camerea.jpg
Figura 2 - Aquí se muestra una pila de once esferas de la celosía HCP ilustrada en la Figura 1 . La pila HCP difiere de los 3 niveles superiores de la pila FCC que se muestran en la Figura 3 solo en el nivel más bajo; se puede modificar a FCC mediante una rotación o traslación adecuada. Figura 3 - Thomas Harriot , alrededor de 1585, primero consideró las matemáticas de la disposición de la bala de cañón o la pila de balas de cañón, que tiene una celosía FCC . Observe cómo las bolas adyacentes a lo largo de cada borde del tetraedro regular que encierra la pila están todas en contacto directo entre sí. Esto no ocurre en una celosía HCP, como se muestra en la Figura 2 .

Generación de celosía

Al formar cualquier celosía de empaquetamiento de esferas, el primer hecho a tener en cuenta es que siempre que dos esferas se tocan, se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra que cruza el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, la línea recta será, por lo tanto, r 1  +  r 2 donde r 1 es el radio de la primera esfera y r 2 es el radio de la segunda. En un empaquetamiento cerrado, todas las esferas comparten un radio común, r . Por tanto, dos centros tendrían simplemente una distancia 2 r .

Celosía simple HCP

Una animación de generación de celosía compacta. Nota: Si una tercera capa (no se muestra) está directamente sobre la primera capa, entonces se construye la celosía HCP. Si la tercera capa se coloca sobre los agujeros en la primera capa, entonces se crea la celosía FCC.

Para formar un empaquetamiento cerrado hexagonal ABAB -... de esferas, los puntos de coordenadas del enrejado serán los centros de las esferas. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas de acuerdo con HCP. La caja se colocaría en el espacio de coordenadas x - y - z .

Primero forma una fila de esferas. Todos los centros estarán en línea recta. Su coordenada x variará en 2 r ya que la distancia entre cada centro de las esferas que se tocan es 2 r . El y coordenada y y z-coordenadas será el mismo. Por simplicidad, dicen que las bolas son la primera fila y que sus Y - y Z coordenadas x son simplemente r , de manera que sus superficies se apoyan sobre las cero-planos. Las coordenadas de los centros de la primera fila se verán como (2 rrr ), (4 rrr ), (6 r  , rr ), (8 r  , rr ), ... .

Ahora, forma la siguiente fila de esferas. Nuevamente, todos los centros estarán en una línea recta con diferencias de coordenadas x de 2 r , pero habrá un cambio de distancia r en la dirección x de modo que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x de donde dos esferas se tocan en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se deslicen más cerca de la primera fila hasta que todas las esferas de la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Dado que las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los centros de esos dos vecinos. Las longitudes de los lados son todas 2 r , por lo que la altura o la diferencia de la coordenada y entre las filas es 3 r . Por lo tanto, esta fila tendrá coordenadas como esta:

La primera esfera de esta fila solo toca una esfera en la fila original, pero su ubicación sigue el ejemplo del resto de la fila.

La siguiente fila sigue este patrón de cambiar la coordenada x en ry la coordenada y en 3 . Añadir filas hasta llegar a las x y y máximos de las fronteras de la caja.

En un patrón de apilamiento ABAB -..., los planos impares de las esferas tendrán exactamente las mismas coordenadas excepto por una diferencia de paso en las coordenadas z y los planos pares de las esferas compartirán las mismas coordenadas x e y . Ambos tipos de planos se forman utilizando el patrón mencionado anteriormente, pero el lugar de inicio para la primera esfera de la primera fila será diferente.

Usando el plano descrito precisamente arriba como plano # 1, el plano A, coloque una esfera en la parte superior de este plano de modo que toque tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se tocan entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular . Todos los lados son iguales a 2 r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. La altura de la cual o la diferencia de coordenadas z entre los dos "planos" es6 r 2/3. Esto, combinado con los desplazamientos en las x y Y coordenadas x da los centros de la primera fila en el plano B:

Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:

La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es de nuevo 6 r 2/3en el z dirección x y un cambio en la x y y para que coincida con los x - y y coordenadas x del primer plano A.

En general, las coordenadas de los centros de las esferas se pueden escribir como:

donde i , j y k son índices que comienzan en 0 para las coordenadas x , y y z .

Índices de Miller

Índice de Miller-Bravais para celosía HCP

Las características cristalográficas de los sistemas HCP, como los vectores y las familias de planos atómicos, se pueden describir utilizando una notación de índice de Miller de cuatro valores ( hkil ) en la que el tercer índice i denota un componente conveniente pero degenerado que es igual a - h  -  k . Las direcciones de los índices h , i y k están separadas por 120 ° y, por lo tanto, no son ortogonales; la componente l es mutuamente perpendicular a las direcciones del índice h , i y k .

Llenar el espacio restante

Los empaques FCC y HCP son los empaques conocidos más densos de esferas iguales con la simetría más alta (unidades de repetición más pequeñas). Se conocen empaquetaduras de esferas más densas , pero implican empaquetaduras de esferas desiguales . Una densidad de empaquetamiento de 1, que llena el espacio por completo, requiere formas no esféricas, como panales .

Reemplazar cada punto de contacto entre dos esferas con un borde que conecta los centros de las esferas en contacto produce tetraedros y octaedros de igual longitud de borde. La disposición FCC produce el panal tetraédrico-octaédrico . La disposición HCP produce el panal tetraédrico-octaédrico girado . Si, en cambio, cada esfera se aumenta con los puntos en el espacio que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se producen los duales de estos panales: el panal dodecaédrico rómbico para FCC y el panal dodecaédrico trapezo-rómbico para HCP.

Las burbujas esféricas aparecen en agua jabonosa en una disposición FCC o HCP cuando el agua en los espacios entre las burbujas se drena. Este patrón también se acerca al panal dodecaédrico rómbico o al panal dodecaédrico trapezo-rómbico . Sin embargo, estas espumas de FCC o HCP con un contenido líquido muy pequeño son inestables, ya que no cumplen con las leyes de Plateau . La espuma Kelvin y la espuma Weaire-Phelan son más estables y tienen una energía interfacial más pequeña en el límite de un contenido líquido muy pequeño.

Ver también

Notas

enlaces externos