Cuadro de centro de impulso - Center-of-momentum frame

En física , el marco del centro de impulso (también marco de impulso cero o marco COM ) de un sistema es el marco inercial único (hasta la velocidad pero no el origen) en el que el impulso total del sistema se desvanece. El centro de impulso de un sistema no es una ubicación (sino una colección de momentos / velocidades relativos: un marco de referencia). Así, "centro de impulso" significa " marco del centro de impulso " y es una forma corta de esta frase.

Un caso especial del marco del centro de momento es el marco del centro de masa : un marco inercial en el que el centro de masa (que es un punto físico) permanece en el origen. En todos los fotogramas COM, el centro de masa está en reposo, pero no necesariamente en el origen del sistema de coordenadas.

En relatividad especial , el marco COM es necesariamente único solo cuando el sistema está aislado.

Propiedades

General

El marco del centro del momento se define como el marco inercial en el que la suma de los momentos lineales de todas las partículas es igual a 0. Sea S el sistema de referencia de laboratorio y S ′ el marco de referencia del centro del momento. Usando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

${\ Displaystyle v '= v-V_ {c},}$

dónde

${\ Displaystyle V_ {c} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}}$

es la velocidad del centro de masa. El impulso total en el sistema de centro de impulso luego se desvanece:

${\ Displaystyle \ sum _ {i} p '_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} { \ sum _ {j} m_ {j}}} = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}$

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los marcos de referencia inerciales .

Relatividad especial

En relatividad , el marco COM existe para un sistema masivo aislado. Ésta es una consecuencia del teorema de Noether . En el marco COM, la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (cuando se divide por el factor c ² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa en reposo ( masa invariante ) del sistema:

${\ displaystyle m_ {0} = {\ frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.}$

La masa invariante del sistema está dada en cualquier marco inercial por la relación invariante relativista

${\ displaystyle m_ {0} {} ^ {2} = \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {p} {c }} \ right) ^ {2},}$

pero para momento cero, el término de momento ( p / c ) ² desaparece y, por lo tanto, la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que tienen energía distinta de cero pero masa en reposo cero (como los fotones que se mueven en una sola dirección o, de manera equivalente, ondas electromagnéticas planas ) no tienen marcos COM, porque no hay un marco en el que tengan un momento neto cero. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , un sistema sin masa debe viajar a la velocidad de la luz en cualquier marco y siempre posee un impulso neto. Su energía es, para cada marco de referencia, igual a la magnitud del momento multiplicado por la velocidad de la luz:

${\ Displaystyle E = pc.}$

Problema de dos cuerpos

A continuación se ofrece un ejemplo del uso de este marco: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástica (donde se conserva la energía cinética ). El marco COM se puede utilizar para encontrar el momento de las partículas mucho más fácilmente que en un marco de laboratorio : el marco donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza usando transformaciones galileanas y conservación del momento (para generalidad, en lugar de energías cinéticas solamente), para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , moviéndose a velocidades iniciales (antes de la colisión) u ₁ y u ₂ respectivamente. Las transformaciones se aplican para tomar la velocidad del marco de la velocidad de cada partícula del marco del laboratorio (cantidades no cebadas) al marco COM (cantidades cebadas):

${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V}, \ quad \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {2} - \ mathbf {V}}$

donde V es la velocidad de la trama COM. Dado que V es la velocidad del COM, es decir, la derivada del tiempo de la ubicación COM R (posición del centro de masa del sistema):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}$

entonces en el origen de la trama COM, R ' = 0 , esto implica

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}$

Se pueden obtener los mismos resultados aplicando la conservación del momento en el marco del laboratorio, donde los momentos son p ₁ y p ₂ :

${\ Displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac { m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

y en el marco COM, donde se afirma definitivamente que los momentos totales de las partículas, p ₁ 'y p ₂ ', se desvanecen:

${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} + \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime } + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}$

El uso de la ecuación de la trama COM para resolver V devuelve la ecuación de la trama de laboratorio anterior, demostrando que se puede usar cualquier trama (incluida la trama COM) para calcular los momentos de las partículas. Se ha establecido que la velocidad del marco COM se puede eliminar del cálculo utilizando el marco anterior, por lo que los momentos de las partículas en el marco COM se pueden expresar en términos de las cantidades en el marco del laboratorio (es decir, los valores iniciales dados ):

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} & = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} \\ & = m_ {1 } \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V} \ right) = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2} \ right) \\ & = - m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} \\\ end {alineado}}}$

observe que la velocidad relativa en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2}}$

y la masa reducida de 2 cuerpos es

${\ Displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

por lo que los momentos de las partículas se reducen compactamente

${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}$

Este es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el marco del laboratorio y las masas, y el momento de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para las velocidades finales v ₁ y v ₂ en lugar de las velocidades iniciales u ₁ y u ₂ , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}$

entonces en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica después de la colisión

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}$

En el marco del laboratorio, la conservación del impulso dice completamente:

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V}}$

Esta ecuación no implica que

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {V}, \ quad m_ {2} \ mathbf { u} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {V}}$

en cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {P} & = \ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \\ & = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V} \\ & = M \ mathbf {V} \ end {alineado}}}$

Se obtiene un análisis similar al anterior

${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {v} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}$

donde la velocidad relativa final en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} = \ Delta \ mathbf {u}.}$

Ver también

• Marco de referencia de laboratorio
• Marco Breit

Referencias