Propiedad de cancelación - Cancellation property
En matemáticas , la noción de cancelativo es una generalización de la noción de invertible .
Un elemento una en un magma ( M , *) tiene la propiedad de cancelación de la izquierda (o se cancellative dejó- ) si para todo b y c en M , un * b = un * c siempre implica que b = c .
Un elemento una en un magma ( M , *) tiene la propiedad de cancelación de la derecha (o es derecho-cancellative ) si para todo b y c en M , b * un = c * un siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación de dos caras (o es cancelador ) si es cancelador tanto a la izquierda como a la derecha.
Un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación a la izquierda (o es cancelador a la izquierda) si todos los a en el magma son canceladores a la izquierda, y se aplican definiciones similares para las propiedades canceladoras de la derecha o canceladoras de dos caras.
Un elemento invertible a la izquierda se cancela a la izquierda y, de manera análoga, a la derecha y a los dos lados.
Por ejemplo, cada cuasigrupo , y por lo tanto cada grupo , es cancelable.
Interpretación
Decir que un elemento a en un magma ( M , ∗) es cancelador a la izquierda, es decir que la función g : x ↦ a ∗ x es inyectiva . Que la función g sea inyectiva implica que dada alguna igualdad de la forma a ∗ x = b , donde la única incógnita es x , solo hay un valor posible de x que satisface la igualdad. Más precisamente, podemos definir alguna función f , la inversa de g , tal que para todo x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Dicho de otra manera, para todos x e y en M , si un * x = un * y , a continuación, x = y .
Ejemplos de monoides y semigrupos canceladores
Los enteros positivos (igualmente no negativos) forman un semigrupo cancelador bajo la suma. Los números enteros no negativos forman un monoide cancelador bajo adición.
De hecho, cualquier semigrupo o monoide libre obedece a la ley de cancelación y, en general, cualquier semigrupo o monoide que se inserte en un grupo (como claramente lo hacen los ejemplos anteriores) obedecerá a la ley de cancelación.
En una línea diferente, (un subsemigroup de) el semigrupo multiplicativo de elementos de un anillo que no son divisores cero (que es solo el conjunto de todos los elementos distintos de cero si el anillo en cuestión es un dominio , como los enteros) tiene la propiedad de cancelación . Tenga en cuenta que esto sigue siendo válido incluso si el anillo en cuestión es no conmutativo y / o no unital.
Estructuras algebraicas no cancelativas
Aunque la ley de cancelación se aplica a la suma, resta, multiplicación y división de números reales y complejos (con la única excepción de la multiplicación por cero y la división de cero por otro número), hay varias estructuras algebraicas donde la ley de cancelación no es válida. .
El producto cruzado de dos vectores no obedece a la ley de cancelación. Si a × b = a × c , entonces no se sigue que b = c incluso si a ≠ 0 .
La multiplicación de matrices tampoco obedece necesariamente a la ley de cancelación. Si AB = AC y A ≠ 0 , entonces uno debe demostrar que la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ) antes de que uno puede concluir que B = C . Si det ( A ) = 0 , entonces B podría no ser igual a C , porque la ecuación matricial AX = B no tendrá una solución única para una matriz A no invertible .
Tenga en cuenta también que si AB = CA y A ≠ 0 y la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ), no es necesariamente cierto que B = C . La cancelación funciona solo para AB = AC y BA = CA (siempre que la matriz A sea invertible ) y no para AB = CA y BA = AC .