Geometría calibrada - Calibrated geometry

En el campo matemático de la geometría diferencial , una variedad calibrada es una variedad de Riemann ( M , g ) de dimensión n equipada con una forma p diferencial φ (para algunos 0 ≤ p ≤ n ) que es una calibración, lo que significa que:

• φ es cerrado: d φ = 0, donde d es la derivada exterior
• para cualquier x ∈ M y cualquier subespacio p- dimensional orientado ξ de T _x M , φ | _ξ = λ vol _ξ con λ ≤ 1. Aquí vol _ξ es la forma de volumen de ξ con respecto a g .

Establezca G _x ( φ ) = { ξ como arriba: φ | _ξ = vol _ξ }. (Para que la teoría sea trivial, necesitamos G _x ( φ ) que no vacío.) Sea G ( φ ) sea la unión de G _x ( φ ) para x en M .

La teoría de las calibraciones se debe a R. Harvey y B. Lawson y otros. Mucho antes (en 1966) Edmond Bonan introdujo el colector G ₂ y el colector Spin (7) , construyó todas las formas paralelas y demostró que esas variedades eran Ricci-flat. La variedad Quaternion-Kähler fue estudiada simultáneamente en 1967 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines y construyeron la forma paralela de 4.

Sub-colectores calibrados

Se dice que una subvariedad p -dimensional Σ de M es una subvariedad calibrada con respecto a φ (o simplemente φ- calibrada) si T Σ se encuentra en G ( φ ).

Un famoso argumento de una línea muestra que las subvariedades p calibradas minimizan el volumen dentro de su clase de homología . De hecho, suponga que Σ está calibrado y Σ  ′ es una subvariedad p en la misma clase de homología. Entonces

${\ Displaystyle \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {vol} _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} \ varphi = \ int _ {\ Sigma '} \ varphi \ leq \ int _ {\ Sigma' } \ mathrm {vol} _ {\ Sigma '}}$

donde la primera igualdad se cumple porque Σ está calibrado, la segunda igualdad es el teorema de Stokes (ya que φ está cerrado) y la desigualdad se mantiene porque φ es una calibración.

Ejemplos

• En un colector de Kähler , las potencias adecuadamente normalizadas de la forma de Kähler son calibraciones, y los sub colectores calibrados son los sub colectores complejos . Esto se deriva de la desigualdad de Wirtinger .
• En una variedad Calabi-Yau , la parte real de una forma de volumen holomórfico (adecuadamente normalizado) es una calibración, y las subvariedades calibradas son subvariedades lagrangianas especiales .
• En un colector G ₂ , tanto la forma de 3 como la de 4 formas dobles de Hodge definen calibraciones. Las subvariedades calibradas correspondientes se denominan subvariedades asociativas y coasociativas.
• En un colector Spin (7) , la forma 4 que define, conocida como forma Cayley, es una calibración. Las subvariedades calibradas correspondientes se denominan subvariedades Cayley.

Referencias

• Bonan, Edmond (1965), "Structure presque quaternale sur une variété différentiable", CR Acad. Sci. París , 261 : 5445–5448.
• Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7)", CR Acad. Sci. París , 262 : 127–129.
• Berger, M. (1970), "Quelques problemes de geometrie Riemannienne o Deux variaciones sur les espaces symetriques compacts de rang un", Enseignement Math. , 16 : 73–96.
• Brakke, Kenneth A. (1991), "Conos mínimos en hipercubos", J. Geom. Anal. : 329–338 (§6.5).
• Brakke, Kenneth A. (1993), Conos mínimos poliédricos en R4.
• de Rham, Georges (1957-1958), Sobre el área de colectores complejos. Notas para el seminario sobre varias variables complejas , Instituto de estudios avanzados, Princeton, Nueva Jersey.
• Federer, Herbert (1965), "Algunos teoremas sobre corrientes integrales", Transactions of the American Mathematical Society , 117 : 43–67, doi : 10.2307 / 1994196 , JSTOR  1994196.
• Joyce, Dominic D. (2007), Grupos de holonomía riemanniana y geometría calibrada , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921559-1.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
• Kraines, Vivian Yoh (1965), "Topología de variedades cuaterniónicas", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 71,3, 1: 526–527, doi : 10.1090 / s0002-9904-1965-11316-7.
• Lawlor, Gary (1998), "Probar la minimización del área mediante corte dirigido", Indiana Univ. Matemáticas. J. , 47 (4): 1547–1592, doi : 10.1512 / iumj.1998.47.1341.
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), "El corte con curvas demuestra que las uniones triples minimizan el área localmente", J. Diff. Geom. , 44 : 514–528.
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), "Calibraciones pareadas aplicadas a películas de jabón, fluidos inmiscibles y superficies o redes minimizando otras normas", Pac. J. Math. , 166 : 55–83.
• McLean, RC (1998), "Deformaciones de subvariedades calibradas", Comunicaciones en análisis y geometría , 6 : 705–747.
• Morgan, Frank (1988), "Superficies de minimización de áreas, caras de Grassmannianos y calibraciones", Amer. Matemáticas. Mensual , 95 (9): 813–822, doi : 10.2307 / 2322896 , JSTOR  2322896.
• Morgan, Frank (1990), "Calibraciones y nuevas singularidades en superficies minimizadoras de áreas: una encuesta en" Métodos variacionales "(Proc. Conf. París, junio de 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron e I. Ekeland, Eds.) ", Prog. Diferencia no lineal Eqns. Applns , 4 : 329–342.
• Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (4a ed.), Londres: Academic Press.
• Thi, Dao Trong (1977), "Corrientes reales mínimas en colectores compactos de Riemann", Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat , 41 : 807–820.
• Van, Le Hong (1990), "Calibraciones relativas y el problema de estabilidad de superficies mínimas", Análisis global: estudios y aplicaciones, IV , Lecture Notes in Mathematics, 1453 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 245-262.
• Wirtinger, W. (1936), "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung", Monatshefte für Mathematik und Physik , 44 : 343–365 (§6.5), doi : 10.1007 / BF01699328.