Pelota que rebota - Bouncing ball

Una pelota que rebota. El movimiento no es del todo parabólico debido a la resistencia del aire .

La física de una pelota que rebota se refiere al comportamiento físico de las pelotas que rebotan , particularmente su movimiento antes, durante y después del impacto contra la superficie de otro cuerpo . Varios aspectos del comportamiento de una pelota que rebota sirven como introducción a la mecánica en los cursos de física a nivel de bachillerato o licenciatura . Sin embargo, el modelado exacto del comportamiento es complejo y de interés en la ingeniería deportiva .

El movimiento de una pelota generalmente se describe por el movimiento de un proyectil (que puede verse afectado por la gravedad , el arrastre , el efecto Magnus y la flotabilidad ), mientras que su impacto generalmente se caracteriza por el coeficiente de restitución (que puede verse afectado por la naturaleza del impacto). bola, la naturaleza de la superficie de impacto, la velocidad del impacto, la rotación y las condiciones locales como la temperatura y la presión ). Para garantizar el juego limpio , muchos órganos rectores deportivos establecen límites en el rebote de su pelota y prohíben alterar las propiedades aerodinámicas de la pelota. El rebote de las pelotas ha sido una característica de deportes tan antiguos como el juego de pelota mesoamericano .

Fuerzas durante el vuelo y efecto sobre el movimiento.

Las fuerzas que actúan sobre una bola que gira durante su vuelo son la fuerza gravitacional ( F _G ), la fuerza de arrastre ( F _D ), la fuerza de Magnus ( F _M ) y la fuerza de flotación ( F _B ).

El movimiento de una pelota que rebota obedece al movimiento de un proyectil . Muchas fuerzas actúan sobre una bola real, a saber, la fuerza gravitacional ( F _G ), la fuerza de arrastre debida a la resistencia del aire ( F _D ), la fuerza Magnus debida al giro de la bola ( F _M ) y la fuerza de flotación ( F _B ) . En general, hay que utilizar la segunda ley de Newton teniendo en cuenta todas las fuerzas para analizar el movimiento de la pelota:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$

donde m es la masa de la pelota. Aquí, a , v , r representan la aceleración , la velocidad y la posición de la pelota en el tiempo t .

Gravedad

Trayectoria de una pelota que rebota en un ángulo de 70 ° después del impacto sin arrastre  , con Stokes drag  , y con Newton drag  .

La fuerza gravitacional se dirige hacia abajo y es igual a

${\displaystyle F_{\text{G}}=mg,}$

donde m es la masa de la bola yg es la aceleración gravitacional , que en la Tierra varía entre9,764  m / s ² y9,834 m / s ² . Debido a que las otras fuerzas suelen ser pequeñas, el movimiento a menudo se idealiza como si estuviera solo bajo la influencia de la gravedad. Si solo actúa la fuerza de la gravedad sobre la pelota, la energía mecánica se conservará durante su vuelo. En este caso idealizado, las ecuaciones de movimiento están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}}$

donde una , v , y r denotan la aceleración, velocidad y posición de la bola, y v ₀ y r ₀ son la velocidad inicial y la posición de la bola, respectivamente.

Más específicamente, si la pelota rebota en un ángulo θ con el suelo, el movimiento en los ejes x e y (que representan el movimiento horizontal y vertical , respectivamente) se describe mediante

Las ecuaciones implican que la altura máxima ( H ) y el alcance ( R ) y el tiempo de vuelo ( T ) de una pelota que rebota en una superficie plana están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}}$

Se pueden realizar más refinamientos en el movimiento de la pelota teniendo en cuenta la resistencia del aire (y los efectos relacionados como la resistencia y el viento ), el efecto Magnus y la flotabilidad . Debido a que las bolas más ligeras se aceleran más fácilmente, su movimiento tiende a verse más afectado por tales fuerzas.

Arrastrar

El flujo de aire alrededor de la bola puede ser laminar o turbulento según el número de Reynolds (Re), definido como:

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},}$

donde ρ es la densidad del aire , μ la viscosidad dinámica del aire, D el diámetro de la bola yv la velocidad de la bola a través del aire. A una temperatura de20 ° C , ρ =1,2 kg / m ³ y μ =1,8 × 10 ⁻⁵  Pa · s .

Si el número de Reynolds es muy bajo (Re <1), la fuerza de arrastre sobre la pelota está descrita por la ley de Stokes :

${\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,}$

donde r es el radio de la bola. Esta fuerza actúa en oposición a la dirección de la pelota (en la dirección de ). Sin embargo, para la mayoría de los balones deportivos, el número de Reynolds estará entre 10 ⁴ y 10 ⁵ y no se aplica la ley de Stokes. En estos valores más altos del número de Reynolds, la fuerza de arrastre sobre la bola se describe en cambio mediante la ecuación de arrastre : ${\displaystyle \textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},}$

donde C _d es el coeficiente de arrastre y A el área de la sección transversal de la bola.

El arrastre hará que la bola pierda energía mecánica durante su vuelo y reducirá su alcance y altura, mientras que los vientos cruzados la desviarán de su trayectoria original. Ambos efectos deben ser tenidos en cuenta por los jugadores de deportes como el golf.

Efecto Magnus

La fuerza de Magnus que actúa sobre una bola con efecto retroceso . Las líneas de flujo rizadas representan una estela turbulenta . El flujo de aire se ha desviado en la dirección de giro.

En tenis de mesa , un jugador experto puede aprovechar el giro de la pelota para afectar la trayectoria de la pelota durante su vuelo y su reacción al impactar con una superficie. Con el efecto liftado , la pelota alcanza la altura máxima más adelante en su vuelo (1) y luego se curva abruptamente hacia abajo (2). El impacto impulsa la pelota hacia adelante (3) y tenderá a rebotar hacia arriba al impactar la paleta del jugador contrario . La situación es contraria en el caso del retroceso .

El giro de la bola afectará su trayectoria a través del efecto Magnus . De acuerdo con el teorema de Kutta-Joukowski , para una esfera giratoria con un flujo de aire no viscoso , la fuerza de Magnus es igual a

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,}$

donde r es el radio de la pelota, ω la velocidad angular (o velocidad de giro) de la pelota, ρ la densidad del aire yv la velocidad de la pelota en relación con el aire. Esta fuerza se dirige perpendicular al movimiento y perpendicular al eje de rotación (en la dirección de ). La fuerza se dirige hacia arriba para el efecto retroceso y hacia abajo para el efecto liftado. En realidad, el flujo nunca es invisible, y el ascensor Magnus se describe mejor por ${\displaystyle \textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}}$

${\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},}$

donde ρ es la densidad del aire, C _L el coeficiente de sustentación , A el área de la sección transversal de la pelota yv la velocidad de la pelota en relación con el aire. El coeficiente de sustentación es un factor complejo que depende, entre otras cosas, de la relación rω / v , el número de Reynolds y la rugosidad de la superficie . En determinadas condiciones, el coeficiente de sustentación puede incluso ser negativo, cambiando la dirección de la fuerza Magnus ( efecto Magnus inverso ).

En deportes como el tenis o el voleibol , el jugador puede utilizar el efecto Magnus para controlar la trayectoria de la pelota (por ejemplo, mediante efecto liftado o retroceso ) durante el vuelo. En el golf , el efecto es responsable de cortar y enganchar, lo que generalmente perjudica al golfista, pero también ayuda a aumentar el alcance de un drive y otros tiros. En el béisbol , los lanzadores usan el efecto para crear bolas curvas y otros lanzamientos especiales .

La manipulación de la pelota es a menudo ilegal y, a menudo, está en el centro de controversias de cricket como la que se produjo entre Inglaterra y Pakistán en agosto de 2006 . En béisbol, el término ' spitball ' se refiere al recubrimiento ilegal de la pelota con saliva u otras sustancias para alterar la aerodinámica de la pelota.

Flotabilidad

Cualquier objeto sumergido en un fluido como agua o aire experimentará una flotabilidad hacia arriba . Según el principio de Arquímedes , esta fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. En el caso de una esfera, esta fuerza es igual a

${\displaystyle F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.}$

La fuerza de flotación suele ser pequeña en comparación con las fuerzas de arrastre y Magnus y, a menudo, puede despreciarse. Sin embargo, en el caso de una pelota de baloncesto, la fuerza de flotación puede ascender a aproximadamente el 1,5% del peso de la pelota. Dado que la flotabilidad se dirige hacia arriba, actuará para aumentar el alcance y la altura de la pelota.

Impacto

La compresión (A → B) y descompresión (B → C) de una pelota que impacta contra una superficie. La fuerza de impacto suele ser proporcional a la distancia de compresión, al menos para pequeñas compresiones, y puede modelarse como una fuerza de resorte .

Video externo
Florian Korn (2013). "Pelota que rebota a cámara lenta: Pelota de goma" . YouTube .

Cuando una pelota impacta en una superficie, la superficie retrocede y vibra , al igual que la pelota, creando tanto sonido como calor , y la pelota pierde energía cinética . Además, el impacto puede impartir cierta rotación a la pelota, transfiriendo parte de su energía cinética de traslación en energía cinética de rotación . Esta pérdida de energía se suele caracterizar (indirectamente) a través del coeficiente de restitución (o COR, denotado por e ):

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},}$

donde v _f y v _i son las velocidades final e inicial de la pelota, y u _f y u _i son las velocidades final e inicial que impactan la superficie, respectivamente. En el caso específico de que una pelota impacte sobre una superficie inamovible, el COR simplifica a

${\displaystyle e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.}$

Para una pelota que se deja caer contra el suelo, el COR variará entre 0 (sin rebote, pérdida total de energía) y 1 (perfectamente rebota, sin pérdida de energía). Valor A COR debajo de 0 o por encima de 1 es teóricamente posible, pero indicaría que la pelota salió a través de la superficie ( e <0 ), o que la superficie no se "relajado" cuando la bola impactada que ( e > 1 ), como en el caso de una pelota que aterriza en una plataforma con resorte.

Para analizar los componentes vertical y horizontal del movimiento, el COR a veces se divide en un COR normal ( e _y ) y un COR tangencial ( e _x ), definido como

${\displaystyle e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},}$

${\displaystyle e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},}$

donde r y ω denotan el radio y la velocidad angular de la pelota, mientras que R y Ω denotan el radio y la velocidad angular de la superficie de impacto (como un bate de béisbol). En particular, rω es la velocidad tangencial de la superficie de la bola, mientras que RΩ es la velocidad tangencial de la superficie de impacto. Estos son especialmente interesantes cuando la pelota impacta contra la superficie en un ángulo oblicuo o cuando se trata de una rotación .

Para una caída recta en el suelo sin rotación, con solo la fuerza de gravedad actuando sobre la pelota, el COR puede relacionarse con varias otras cantidades por:

${\displaystyle e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.}$

Aquí, K y U denotan la energía cinética y potencial de la pelota, H es la altura máxima de la pelota y T es el tiempo de vuelo de la pelota. Los subíndices 'i' y 'f' se refieren a los estados inicial (antes del impacto) y final (después del impacto) de la pelota. Asimismo, la pérdida de energía en el impacto puede relacionarse con el COR por

${\displaystyle {\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.}$

El COR de una pelota puede verse afectado por varias cosas, principalmente

• la naturaleza de la superficie de impacto (por ejemplo, hierba, hormigón, malla de alambre)
• el material de la pelota (por ejemplo, cuero, caucho, plástico)
• la presión dentro de la bola (si está hueca)
• la cantidad de rotación inducida en la pelota en el impacto
• la velocidad del impacto

Las condiciones externas como la temperatura pueden cambiar las propiedades de la superficie de impacto o de la pelota, haciéndolas más flexibles o más rígidas. Esto, a su vez, afectará al COR. En general, la pelota se deformará más a velocidades de impacto más altas y, en consecuencia, perderá más energía, disminuyendo su COR.

Giro y ángulo de impacto

Las fuerzas que actúan sobre una bola que gira durante el impacto son la fuerza de gravedad , la fuerza normal y la fuerza de fricción (que en general tiene un componente tanto de "traslación" como de "rotación"). Si la superficie está en ángulo, la fuerza de gravedad estaría en un ángulo con respecto a la superficie, mientras que las otras fuerzas permanecerían perpendiculares o paralelas a la superficie.

Video externo
Biomecánica MMU (2008). "Impactos de golf - Video en cámara lenta" . YouTube .

Al impactar contra el suelo, parte de la energía cinética de traslación se puede convertir en energía cinética de rotación y viceversa, según el ángulo de impacto de la pelota y la velocidad angular. Si la pelota se mueve horizontalmente en el impacto, la fricción tendrá un componente de "traslación" en la dirección opuesta al movimiento de la pelota. En la figura, la bola se mueve hacia la derecha y, por lo tanto, tendrá un componente de traslación de fricción que empujará la bola hacia la izquierda . Además, si la pelota gira en el momento del impacto, la fricción tendrá un componente "rotacional" en la dirección opuesta a la rotación de la pelota. En la figura, la pelota gira en el sentido de las agujas del reloj y el punto que impacta contra el suelo se mueve hacia la izquierda con respecto al centro de masa de la pelota . Por lo tanto, el componente rotacional de la fricción empuja la bola hacia la derecha . A diferencia de la fuerza normal y la fuerza de la gravedad, estas fuerzas de fricción ejercerán un par sobre la bola y cambiarán su velocidad angular ( ω ).

Pueden surgir tres situaciones:

1. Si una bola se impulsa hacia adelante con efecto retroceso , la fricción traslacional y rotacional actuarán en las mismas direcciones. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, al igual que su velocidad horizontal, y la pelota se impulsará hacia arriba , posiblemente incluso superando su altura original. También es posible que la pelota comience a girar en la dirección opuesta e incluso rebote hacia atrás.
2. Si una bola es impulsada hacia adelante con efecto liftado , el acto de fricción traslacional y rotacional actuará en direcciones opuestas. Lo que sucede exactamente depende de cuál de los dos componentes domine.
   1. Si la pelota gira mucho más rápido de lo que se movía, dominará la fricción rotacional. La velocidad angular de la pelota se reducirá después del impacto, pero su velocidad horizontal aumentará. La pelota será impulsada hacia adelante pero no excederá su altura original y seguirá girando en la misma dirección.
   2. Si la bola se mueve mucho más rápido de lo que giraba, dominará la fricción de traslación. La velocidad angular de la pelota aumentará después del impacto, pero su velocidad horizontal disminuirá. La pelota no superará su altura original y seguirá girando en la misma dirección.

Si la superficie está inclinada en cierta cantidad θ , todo el diagrama rotaría θ , pero la fuerza de gravedad permanecería apuntando hacia abajo (formando un ángulo θ con la superficie). La gravedad tendría entonces un componente paralelo a la superficie, lo que contribuiría a la fricción y, por lo tanto, contribuiría a la rotación.

En los deportes de raqueta como el tenis de mesa o el raquetbol , los jugadores habilidosos utilizarán los efectos (incluido el efecto lateral ) para alterar repentinamente la dirección de la pelota cuando impacta en la superficie, como el suelo o la raqueta de su oponente . De manera similar, en el cricket , existen varios métodos de bolos giratorios que pueden hacer que la bola se desvíe significativamente del terreno de juego .

Bolas no esféricas

Las fuerzas que actúan sobre una pelota de fútbol de parrilla o una pelota de rugby en el impacto son la fuerza de gravedad , la fuerza normal y la fuerza de fricción . La fricción normalmente tendrá un componente 'longitudinal' debido a la velocidad de la pelota y el giro de 'volteo' y un componente 'lateral' debido al giro 'en el eje' de la pelota inducido por el lanzamiento.

El rebote de una pelota de forma ovalada (como las que se usan en el fútbol de parrilla o en el rugby ) es en general mucho menos predecible que el rebote de una pelota esférica. Dependiendo de la alineación de la pelota en el impacto, la fuerza normal puede actuar delante o detrás del centro de masa de la pelota, y la fricción del suelo dependerá de la alineación de la pelota, así como de su rotación, giro y velocidad de impacto. Donde las fuerzas actúan con respecto al centro de masa de la bola cambia a medida que la bola rueda por el suelo, y todas las fuerzas pueden ejercer un par sobre la bola, incluidas la fuerza normal y la fuerza de gravedad. Esto puede hacer que la pelota rebote hacia adelante, hacia atrás o hacia los lados. Debido a que es posible transferir algo de energía cinética rotacional en energía cinética de traslación, es incluso posible que el COR sea mayor que 1, o que la velocidad de avance de la pelota aumente con el impacto.

Varias bolas apiladas

Video externo
Chica física (2015). "Caída de bolas apiladas" . YouTube .

Una demostración popular implica el rebote de varias bolas apiladas. Si se apila una pelota de tenis encima de una pelota de baloncesto y las dos se dejan caer al mismo tiempo, la pelota de tenis rebotará mucho más alto de lo que lo haría si se dejara caer sola, incluso superando su altura de lanzamiento original. El resultado es sorprendente ya que aparentemente viola la conservación de energía. Sin embargo, tras una inspección más cercana, la pelota de baloncesto no rebota tan alto como lo haría si la pelota de tenis no hubiera estado encima de ella, y transfirió parte de su energía a la pelota de tenis, impulsándola a una mayor altura.

La explicación habitual implica considerar dos impactos separados: la pelota de baloncesto que impacta contra el suelo y luego la pelota de baloncesto que impacta con la pelota de tenis. Suponiendo colisiones perfectamente elásticas , la pelota de baloncesto que impacta contra el suelo a 1 m / s rebotaría a 1 m / s. La pelota de tenis que va a 1 m / s tendría entonces una velocidad de impacto relativa de 2 m / s, lo que significa que rebotaría a 2 m / s en relación con la pelota de baloncesto, o 3 m / s en relación con el suelo, y triplicaría su velocidad. velocidad de rebote en comparación con impactar el suelo por sí solo. Esto implica que la pelota rebotaría 9 veces su altura original. En realidad, debido a las colisiones inelásticas , la pelota de tenis aumentará su velocidad y altura de rebote en un factor menor, pero aún así rebotará más rápido y más alto de lo que lo haría por sí sola.

Si bien las suposiciones de impactos separados no son realmente válidas (las bolas permanecen en estrecho contacto entre sí durante la mayor parte del impacto), este modelo, no obstante, reproducirá resultados experimentales con un buen acuerdo y, a menudo, se utiliza para comprender fenómenos más complejos como el colapso del núcleo de supernovas , o maniobras de honda gravitacional .

Reglamento deportivo

Varios órganos rectores de los deportes regulan el rebote de una pelota de diversas formas, algunas directas, otras indirectas.

• AFL : regula la presión manométrica del balón entre62 kPa y76 kPa .
• FIBA : Regula la presión manométrica para que la pelota rebote entre 1200 mm y 1400 mm (parte superior de la pelota) cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm (parte inferior de la pelota). Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0,727 a 0,806.
• FIFA : regula la presión manométrica del balón de fútbol entre0,6  atm y1,1 atm a nivel del mar (61 a 111  kPa ).
• FIVB : Regula la presión manométrica de la pelota de voleibol entre0,30  kg _F / cm ² hasta0,325 kg _F / cm ² (29,4 a 31,9 kPa) para voleibol de interior , y0,175  kg _F / cm ² hasta0,225 kg _F / cm ² (17,2 a 22,1 kPa) para voleibol de playa .
• ITF : Regula la altura del rebote de la pelota de tenis cuando se deja caer sobre un "bloque liso, rígido y horizontal de gran masa". Se permiten diferentes tipos de bolas para diferentes tipos de superficies. Cuando se deja caer desde una altura de 100 pulgadas (254 cm), el rebote debe ser de 54 a 60 pulgadas (137 a 152 cm) para las pelotas de Tipo 1, de 53 a 58 pulgadas (de 135 a 147 cm) para las de Tipo 2 y Tipo 3, y 48 a 53 pulg. (122 a 135 cm) para pelotas de gran altitud. Esto corresponde aproximadamente a un COR de 0,735–0,775 (bola tipo 1), 0,728–0,762 (bolas tipo 2 y 3) y 0,693–0,728 (bolas de gran altitud) cuando se deja caer sobre la superficie de prueba.
• ITTF : Regula la superficie de juego para que la pelota de tenis de mesa rebote aproximadamente 23 cm cuando se deja caer desde una altura de 30 cm. Esto corresponde aproximadamente a un COR de aproximadamente 0,876 contra la superficie de juego.
• NBA : regula la presión manométrica de la pelota de baloncesto entre 7,5 y 8,5  psi (51,7 a 58,6 kPa).
• NFL : regula la presión manométrica del fútbol americano entre 12,5 y 13,5 psi (86 a 93 kPa).
• R&A / USGA : Limita el COR de la pelota de golf directamente, que no debe exceder de 0.83 contra un palo de golf .

La presión de un fútbol americano estuvo en el centro de la polémica del deflategate . Algunos deportes no regulan las propiedades de rebote de las pelotas directamente, sino que especifican un método de construcción. En el béisbol , la introducción de una pelota de corcho ayudó a poner fin a la era de la pelota muerta y a desencadenar la era de la pelota viva .

Ver también

• Bola hinchable
• Lista de juegos de pelota

Notas

Referencias

Otras lecturas

• Briggs, LJ (1945). "Métodos para medir el coeficiente de restitución y el giro de una pelota" . Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas . 34 (1): 1–23. doi : 10.6028 / jres.034.001 .
• Cruz, R. (2011). Física del béisbol y el softbol . Springer . ISBN 978-1-4419-8112-7.
• Cross, R. (junio de 2014). "Física del rebote" . Universidad de Sydney .
• Cruz, R. (2015). "Comportamiento de una pelota que rebota". Educación física . 50 (3): 335–341. Código Bibliográfico : 2015PhyEd..50..335C . doi : 10.1088 / 0031-9120 / 50/3/335 .
• Stronge, WJ (2004). Mecánica de impacto . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-60289-1.
• Erlichson, Herman (1983). "Alcance máximo de proyectil con arrastre y sustentación, con especial aplicación al golf". Revista estadounidense de física . 51 (4): 357–362. Código bibliográfico : 1983AmJPh..51..357E . doi : 10.1119 / 1.13248 . Resumen de Lay - Forbes.com (29 de abril de 2013).