Conjunto básico (química) - Basis set (chemistry)

Un conjunto de bases en química teórica y computacional es un conjunto de funciones (llamadas funciones de base) que se utiliza para representar la función de onda electrónica en el método Hartree-Fock o la teoría funcional de densidad para convertir las ecuaciones diferenciales parciales del modelo en ecuaciones algebraicas adecuadas para una implementación eficiente en una computadora.

El uso de conjuntos de bases equivale al uso de una resolución aproximada de la identidad: los orbitales se expanden dentro del conjunto de bases como una combinación lineal de las funciones de base , donde los coeficientes de expansión están dados por . ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle \ approx \ sum _ {\ mu} c _ {\ mu i} | \ mu \ rangle}$ ${\ Displaystyle c_ {ik}}$ ${\ Displaystyle c _ {\ mu i} = \ sum _ {\ nu} \ langle \ mu | \ nu \ rangle ^ {- 1} \ langle \ nu | k \ rangle}$

El conjunto de bases puede estar compuesto por orbitales atómicos (produciendo el enfoque de combinación lineal de orbitales atómicos ), que es la elección habitual dentro de la comunidad de la química cuántica; ondas planas que se utilizan típicamente dentro de la comunidad del estado sólido, o enfoques en el espacio real. Existen varios tipos de orbitales atómicos se pueden utilizar: orbitales de tipo gaussiano , de tipo Slater orbitales , o orbitales atómicos numéricos. De los tres, los orbitales de tipo gaussiano son, con mucho, los más utilizados, ya que permiten implementaciones eficientes de métodos Post-Hartree-Fock .

Introducción

En la química computacional moderna , los cálculos químicos cuánticos se realizan utilizando un conjunto finito de funciones básicas . Cuando la base finita se expande hacia un conjunto completo (infinito) de funciones, se dice que los cálculos que utilizan dicho conjunto de bases se acercan al límite del conjunto de bases completo (CBS). En este contexto, la función de base y el orbital atómico a veces se usan indistintamente, aunque las funciones de base generalmente no son orbitales atómicos verdaderos.

Dentro del conjunto de bases, la función de onda se representa como un vector , cuyos componentes corresponden a los coeficientes de las funciones de base en la expansión lineal. Sobre esta base, los operadores de un electrón corresponden a matrices (también conocidos como tensores de rango dos ), mientras que los operadores de dos electrones son tensores de rango cuatro.

Cuando se realizan cálculos moleculares, es común utilizar una base compuesta por orbitales atómicos , centrados en cada núcleo dentro de la molécula ( combinación lineal de orbitales atómicos ansatz ). El conjunto de bases físicamente mejor motivado son los orbitales de tipo Slater (STO), que son soluciones a la ecuación de Schrödinger de átomos similares al hidrógeno y se desintegran exponencialmente lejos del núcleo. Se puede demostrar que los orbitales moleculares de Hartree-Fock y la teoría de la densidad funcional también exhiben una desintegración exponencial. Además, los STO de tipo S también satisfacen la condición de la cúspide de Kato en el núcleo, lo que significa que pueden describir con precisión la densidad de electrones cerca del núcleo. Sin embargo, los átomos similares al hidrógeno carecen de interacciones de muchos electrones, por lo que los orbitales no describen con precisión las correlaciones del estado de los electrones .

Desafortunadamente, calcular integrales con STO es computacionalmente difícil y más tarde Frank Boys se dio cuenta de que los STO podían aproximarse como combinaciones lineales de orbitales de tipo gaussiano (GTO). Debido a que el producto de dos GTO se puede escribir como una combinación lineal de GTO, las integrales con funciones de base gaussiana se pueden escribir en forma cerrada, lo que conduce a enormes ahorros computacionales (ver John Pople ).

Se han publicado en la literatura docenas de conjuntos de bases orbitales de tipo gaussiano. Los conjuntos de bases normalmente vienen en jerarquías de tamaño creciente, lo que brinda una forma controlada de obtener soluciones más precisas, aunque a un costo más alto.

Los conjuntos de bases más pequeños se denominan conjuntos de bases mínimos . Un conjunto de bases mínimo es aquel en el que, en cada átomo de la molécula, se utiliza una función de base única para cada orbital en un cálculo de Hartree-Fock sobre el átomo libre. Para átomos como el litio, las funciones básicas de tipo p también se agregan a las funciones básicas que corresponden a los orbitales 1s y 2s del átomo libre, porque el litio también tiene un estado ligado 1s2p. Por ejemplo, cada átomo en el segundo período del sistema periódico (Li - Ne) tendría un conjunto básico de cinco funciones (dos funciones sy tres funciones p).

Una función de polarización d agregada al orbital ap

Un conjunto de bases mínimo ya puede ser exacto para el átomo en fase gaseosa en el nivel de campo autoconsistente de la teoría. En el siguiente nivel, se agregan funciones adicionales para describir la polarización de la densidad electrónica del átomo en moléculas. Se denominan funciones de polarización . Por ejemplo, mientras que el conjunto de bases mínimas para el hidrógeno es una función que se aproxima al orbital atómico 1s, un conjunto de bases polarizadas simples típicamente tiene dos funciones s y una función p (que consta de tres funciones básicas: px, py y pz). Esto agrega flexibilidad al conjunto de bases, permitiendo efectivamente que los orbitales moleculares que involucran al átomo de hidrógeno sean más asimétricos con respecto al núcleo de hidrógeno. Esto es muy importante para modelar enlaces químicos, porque los enlaces a menudo están polarizados. De manera similar, las funciones de tipo d se pueden agregar a un conjunto de bases con orbitales de valencia p, y las funciones f a un conjunto de bases con orbitales de tipo d, y así sucesivamente.

Otra adición común a los conjuntos de bases es la adición de funciones difusas . Se trata de funciones de base gaussiana ampliadas con un pequeño exponente, que dan flexibilidad a la parte de la "cola" de los orbitales atómicos, lejos del núcleo. Las funciones de base difusa son importantes para describir aniones o momentos dipolares, pero también pueden ser importantes para el modelado preciso de enlaces intra e intermoleculares.

Jerarquía STO

El conjunto de bases mínimas más común es STO-nG , donde n es un número entero. Los conjuntos de bases STO-nG se derivan de un conjunto mínimo de bases orbitales de tipo Slater, donde n representa el número de funciones primitivas gaussianas utilizadas para representar cada orbital de tipo Slater. Los conjuntos de bases mínimos generalmente dan resultados aproximados que son insuficientes para una publicación con calidad de investigación, pero son mucho más baratos que sus contrapartes más grandes. Los conjuntos de bases mínimas de este tipo que se utilizan habitualmente son:

STO-3G
STO-4G
STO-6G
STO-3G *: versión polarizada de STO-3G

Hay varios otros conjuntos de bases mínimas que se han utilizado, como los conjuntos de bases MidiX.

Conjuntos de bases de valencia dividida

Durante la mayoría de los enlaces moleculares, son los electrones de valencia los que participan principalmente en el enlace. Reconociendo este hecho, es común representar los orbitales de valencia por más de una función base (cada una de las cuales a su vez puede estar compuesta por una combinación lineal fija de funciones gaussianas primitivas). Los conjuntos de bases en los que hay múltiples funciones de base correspondientes a cada orbital atómico de valencia se denominan conjuntos de bases de valencia doble, triple, cuádruple-zeta, etc. (zeta, ζ, se usaba comúnmente para representar el exponente de una función de base STO) . Dado que los diferentes orbitales de la división tienen diferentes extensiones espaciales, la combinación permite que la densidad de electrones ajuste su extensión espacial de manera apropiada al entorno molecular particular. Por el contrario, los conjuntos de bases mínimos carecen de la flexibilidad para adaptarse a diferentes entornos moleculares.

Conjuntos de bases de personas

La notación para los conjuntos de bases de valencia dividida que surgen del grupo de John Pople es típicamente X-YZg . En este caso, X representa el número de gaussianos primitivos que comprenden cada función de base orbital atómica central. La Y y Z indican que los orbitales de valencia están compuestos de dos funciones base cada uno, la primera compuesta por una combinación lineal de funciones gaussianas primitivas Y , la otra compuesta por una combinación lineal de funciones gaussianas primitivas Z. En este caso, la presencia de dos números después de los guiones implica que este conjunto de bases es un conjunto de bases de doble zeta de valencia dividida . También se utilizan conjuntos de bases de valencia dividida triple y cuádruple zeta, indicados como X-YZWg , X-YZWVg , etc. Aquí hay una lista de conjuntos de bases de valencia dividida de este tipo de uso común:

3-21G
3-21G * - Funciones de polarización en átomos pesados
3-21G ** - Funciones de polarización en átomos pesados e hidrógeno
3-21 + G - Funciones difusas en átomos pesados
3-21 ++ G - Funciones difusas en átomos pesados e hidrógeno
3-21 + G * - Funciones de polarización y difusión en átomos pesados
3-21 + G ** - Funciones de polarización en átomos pesados e hidrógeno, así como funciones difusas en átomos pesados
4-21G
4-31G
6-21G
6-31G
6-31G *
6-31 + G *
6-31G (3df, 3pd)
6-311G
6-311G *
6-311 + G *

El conjunto de bases 6-31G * (definido para los átomos H a Zn) es un conjunto de bases polarizadas de valencia doble-zeta que suma al conjunto 6-31G cinco funciones de polarización cartesiana-gaussiana de tipo d en cada uno de los átomos de Li a Ca y diez funciones de polarización gaussianas cartesianas de tipo f en cada uno de los átomos Sc a Zn.

En comparación con los conjuntos de bases de Pople, los conjuntos de bases coherentes con la correlación o con la polarización son más apropiados para los cálculos de funciones de onda correlacionadas. Sin embargo, para Hartree-Fock o la teoría funcional de densidad, los conjuntos de bases de Pople son más eficientes (función de base por unidad) en comparación con otras alternativas, siempre que el programa de estructura electrónica pueda aprovechar las capas sp combinadas .

Conjuntos de bases coherentes con la correlación

Algunos de los conjuntos de bases más utilizados son los desarrollados por Dunning y colaboradores, ya que están diseñados para hacer converger cálculos Post-Hartree-Fock de forma sistemática hasta el límite del conjunto de bases completo utilizando técnicas de extrapolación empírica.

Para los átomos de la primera y segunda fila, los conjuntos básicos son cc-pVNZ donde N = D, T, Q, 5,6, ... (D = doble, T = triples, etc.). La 'cc-p' significa 'polarizado consistente en correlación' y la 'V' indica que son conjuntos de bases de solo valencia. Incluyen capas sucesivamente más grandes de funciones de polarización (correlación) ( d , f , g , etc.). Más recientemente, estos conjuntos de bases "polarizados consistentes en correlación" se han vuelto ampliamente utilizados y son el estado actual de la técnica para cálculos correlacionados o posteriores a Hartree-Fock . Ejemplos de estos son:

cc-pVDZ - Doble zeta
cc-pVTZ - Triple-zeta
cc-pVQZ - Cuádruple-zeta
cc-pV5Z: quíntuple-zeta, etc.
aug-cc-pVDZ, etc. - Versiones aumentadas de los conjuntos básicos anteriores con funciones difusas añadidas.
cc-pCVDZ: doble zeta con correlación de núcleo

Para los átomos del período 3 (Al-Ar), se han hecho necesarias funciones adicionales; estos son los conjuntos de bases cc-pV (N + d) Z. Los átomos incluso más grandes pueden emplear conjuntos de bases pseudopotenciales, cc-pVNZ-PP, o conjuntos de bases Douglas-Kroll contraídos relativistas, cc-pVNZ-DK.

Si bien los conjuntos de bases de Dunning habituales son solo para cálculos de valencia, los conjuntos se pueden aumentar con funciones adicionales que describen la correlación de electrones del núcleo. Estos conjuntos de valencia de núcleo (cc-pCVXZ) se pueden utilizar para abordar la solución exacta del problema de todos los electrones, y son necesarios para cálculos precisos de propiedades geométricas y nucleares.

También se han sugerido recientemente conjuntos de valencia de núcleo ponderados (cc-pwCVXZ). Los conjuntos ponderados tienen como objetivo capturar la correlación núcleo-valencia, mientras descuidan la mayor parte de la correlación núcleo-núcleo, para producir geometrías precisas con un costo menor que los conjuntos cc-pCVXZ.

También se pueden agregar funciones difusas para describir aniones e interacciones de largo alcance, como las fuerzas de Van der Waals, o para realizar cálculos electrónicos de estado excitado, cálculos de propiedades de campo eléctrico. Existe una receta para construir funciones aumentadas adicionales; En la bibliografía se han utilizado hasta cinco funciones aumentadas en segundos cálculos de hiperpolarizabilidad. Debido a la rigurosa construcción de estos conjuntos de bases, se puede realizar una extrapolación para casi cualquier propiedad energética. Sin embargo, se debe tener cuidado al extrapolar las diferencias de energía ya que los componentes de energía individuales convergen a diferentes velocidades: la energía de Hartree-Fock converge exponencialmente, mientras que la energía de correlación converge solo polinomialmente.

	H-He	Línea	Na-Ar
cc-pVDZ	[2 s 1 p ] → 5 func.	[3 s 2 p 1 d ] → 14 func.	[4 s 3 p 1 d ] → 18 func.
cc-pVTZ	[3 s 2 p 1 d ] → 14 func.	[4 s 3 p 2 d 1 f ] → 30 func.	[5 s 4 p 2 d 1 f ] → 34 func.
cc-pVQZ	[4 s 3 p 2 d 1 f ] → 30 func.	[5 s 4 p 3 d 2 f 1 g ] → 55 func.	[6 s 5 p 3 d 2 f 1 g ] → 59 func.
aug-cc-pVDZ	[3 s 2 p ] → 9 func.	[4 s 3 p 2 d ] → 23 func.	[5 s 4 p 2 d ] → 27 func.
aug-cc-pVTZ	[4 s 3 p 2 d ] → 23 func.	[5 s 4 p 3 d 2 f ] → 46 func.	[6 s 5 p 3 d 2 f ] → 50 func.
aug-cc-pVQZ	[5 s 4 p 3 d 2 f ] → 46 func.	[6 s 5 p 4 d 3 f 2 g ] → 80 func.	[7 s 6 p 4 d 3 f 2 g ] → 84 func.

Para entender cómo obtener el número de funciones, tome el conjunto de bases cc-pVDZ para H: Hay dos orbitales s ( L = 0) y un orbital p ( L = 1) que tiene 3 componentes a lo largo del eje z ( m _L = -1,0,1) correspondiente a p _x , p _y y p _z . Por lo tanto, cinco orbitales espaciales en total. Tenga en cuenta que cada orbital puede contener dos electrones de espín opuesto.

Por ejemplo, Ar [1s, 2s, 2p, 3s, 3p] tiene 3 orbitales s (L = 0) y 2 conjuntos de orbitales p (L = 1). Usando cc-pVDZ, los orbitales son [1s, 2s, 2p, 3s, 3s, 3p, 3p, 3d '] (donde' representa el agregado en los orbitales de polarización), con 4 orbitales s (4 funciones básicas), 3 conjuntos de p orbitales (3 × 3 = 9 funciones básicas) y 1 conjunto de orbitales d (5 funciones básicas). La suma de las funciones básicas da un total de 18 funciones para Ar con el conjunto básico cc-pVDZ.

Conjuntos de bases coherentes con la polarización

La teoría de la función de la densidad se ha utilizado ampliamente recientemente en la química computacional . Sin embargo, los conjuntos de bases consistentes con correlación descritos anteriormente son subóptimos para la teoría de función de densidad, porque los conjuntos consistentes con correlación han sido diseñados para Post-Hartree-Fock , mientras que la teoría funcional de densidad exhibe una convergencia de conjuntos de bases mucho más rápida que los métodos de función de onda. .

Adoptando una metodología similar a la serie consistente en correlación, Frank Jensen introdujo conjuntos de bases consistentes en polarización (pc-n) como una forma de converger rápidamente los cálculos de la teoría funcional de densidad al límite del conjunto de bases completo. Al igual que los conjuntos de Dunning, los conjuntos de pc-n se pueden combinar con técnicas de extrapolación de conjuntos de bases para obtener valores CBS.

Los conjuntos pc-n se pueden aumentar con funciones difusas para obtener conjuntos augpc-n.

Juegos de bases de Karlsruhe

Algunas de las diversas adaptaciones de valencia de los conjuntos de bases de Karlsruhe son

def2-SV (P): valencia dividida con funciones de polarización en átomos pesados (no hidrógeno)
def2-SVP - Polarización de valencia dividida
def2-SVPD - Polarización de valencia dividida con funciones difusas
def2-TZVP - Polarización de valencia triple-zeta
def2-TZVPD - Polarización de valencia triple zeta con funciones difusas
def2-TZVPP - Valence triple-zeta con dos conjuntos de funciones de polarización
def2-TZVPPD - Valence triple-zeta con dos conjuntos de funciones de polarización y un conjunto de funciones difusas
def2-QZVP - Polarización cuádruple zeta de valencia
def2-QZVPD - Polarización de valencia cuádruple-zeta con funciones difusas
def2-QZVPP - Valence cuádruple-zeta con dos conjuntos de funciones de polarización
def2-QZVPPD - Valence cuádruple-zeta con dos conjuntos de funciones de polarización y un conjunto de funciones difusas

Conjuntos de bases optimizados para la completitud

Los conjuntos de bases orbitales de tipo gaussiano generalmente se optimizan para reproducir la menor energía posible para los sistemas utilizados para entrenar el conjunto de bases. Sin embargo, la convergencia de la energía no implica la convergencia de otras propiedades, como los blindajes magnéticos nucleares, el momento dipolar o la densidad del momento de los electrones, que sondean diferentes aspectos de la función de onda electrónica.

Manninen y Vaara han propuesto conjuntos de bases de completitud optimizados, donde los exponentes se obtienen maximizando el perfil de completitud de un electrón en lugar de minimizar la energía. Los conjuntos de bases optimizados para la completitud son una forma de acercarse fácilmente al límite del conjunto de bases completo de cualquier propiedad en cualquier nivel de teoría, y el procedimiento es sencillo de automatizar.

Los conjuntos de bases de completitud optimizados se adaptan a una propiedad específica. De esta manera, la flexibilidad del conjunto de bases se puede centrar en las demandas computacionales de la propiedad elegida, lo que típicamente produce una convergencia mucho más rápida al límite del conjunto de bases completo que la que se puede lograr con los conjuntos de bases con optimización de energía.

Conjuntos de bases de temperamento uniforme

Funciones gaussianas de tipo s que utilizan seis valores de exponentes diferentes obtenidos de un esquema equilibrado que comienza con α = 0.1 y β = sqrt (10). Parcela generada con Gnuplot.

En 1974, Bardo y Ruedenberg propusieron un esquema simple para generar los exponentes de un conjunto base que abarca el espacio de Hilbert de manera uniforme siguiendo una progresión geométrica de la forma:

${\ Displaystyle \ alpha _ {i, l} = \ alpha _ {l} \ beta _ {l} ^ {i-1}, \ quad \ alpha _ {l}, \ beta _ {l}> 0, \ quad \ beta _ {l} \ neq 1 \ quad i = 1,2, \ dots N_ {l}}$

para cada momento angular , donde es el número de funciones primitivas. Aquí, solo los dos parámetros y deben ser optimizados, reduciendo significativamente la dimensión del espacio de búsqueda o incluso evitando el problema de optimización del exponente. Para describir correctamente los estados electrónicos deslocalizados, un conjunto de bases estándar previamente optimizado se puede complementar con funciones gaussianas deslocalizadas adicionales con valores de exponentes pequeños, generadas por el esquema de temperamento uniforme. Este enfoque también se ha empleado para generar conjuntos de bases para otros tipos de partículas cuánticas en lugar de electrones, como núcleos cuánticos, muones negativos o positrones. ${\ Displaystyle l}$ ${\ Displaystyle N_ {l}}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {l}}$ ${\ Displaystyle \ beta _ {l}}$

Conjuntos de bases de onda plana

Además de los conjuntos de bases localizados, los conjuntos de bases de ondas planas también se pueden utilizar en simulaciones de química cuántica. Normalmente, la elección del conjunto de bases de ondas planas se basa en una energía de corte. Las ondas planas en la celda de simulación que se ajustan por debajo del criterio de energía se incluyen en el cálculo. Estos conjuntos de bases son populares en cálculos que involucran condiciones de contorno periódicas tridimensionales .

La principal ventaja de una base de onda plana es que se garantiza que convergerá de manera uniforme y monótona a la función de onda objetivo. Por el contrario, cuando se utilizan conjuntos de bases localizados, la convergencia monótona al límite del conjunto de bases puede ser difícil debido a problemas con el exceso de completitud: en un conjunto de bases grande, las funciones en diferentes átomos comienzan a parecerse y muchos valores propios de la matriz de superposición. acercarse a cero.

Además, ciertas integrales y operaciones son mucho más fáciles de programar y realizar con funciones de base de onda plana que con sus contrapartes localizadas. Por ejemplo, el operador de energía cinética es diagonal en el espacio recíproco. Los operadores integrales sobre el espacio real se pueden llevar a cabo de manera eficiente utilizando transformadas rápidas de Fourier . Las propiedades de la Transformada de Fourier permiten calcular un vector que representa el gradiente de la energía total con respecto a los coeficientes de onda plana con un esfuerzo computacional que escala como NPW * ln (NPW) donde NPW es el número de ondas planas. Cuando esta propiedad se combina con pseudopotenciales separables del tipo Kleinman-Bylander y técnicas de solución de gradiente conjugado preacondicionado, se hace posible la simulación dinámica de problemas periódicos que contienen cientos de átomos.

En la práctica, los conjuntos de bases de ondas planas se utilizan a menudo en combinación con un 'potencial de núcleo efectivo' o pseudopotencial , de modo que las ondas planas solo se utilizan para describir la densidad de carga de valencia. Esto se debe a que los electrones del núcleo tienden a concentrarse muy cerca de los núcleos atómicos, lo que da como resultado grandes gradientes de densidad y función de onda cerca de los núcleos que no se describen fácilmente mediante un conjunto de bases de ondas planas, a menos que exista un corte de energía muy alto y, por lo tanto, una longitud de onda pequeña. se utiliza. Este método combinado de un conjunto de base de onda plana con un pseudopotencial de núcleo a menudo se abrevia como un cálculo de PSPW .

Además, como todas las funciones de la base son mutuamente ortogonales y no están asociadas con ningún átomo en particular, los conjuntos de bases de ondas planas no exhiben un error de superposición de conjuntos de bases . Sin embargo, el conjunto de bases de onda plana depende del tamaño de la celda de simulación, lo que complica la optimización del tamaño de la celda.

Debido al supuesto de condiciones de contorno periódicas, los conjuntos de bases de onda plana son menos adecuados para los cálculos de fase gaseosa que los conjuntos de bases localizados. Es necesario agregar grandes regiones de vacío en todos los lados de la molécula en fase gaseosa para evitar interacciones con la molécula y sus copias periódicas. Sin embargo, las ondas planas utilizan una precisión similar para describir la región de vacío como la región donde se encuentra la molécula, lo que significa que obtener el límite que realmente no interactúa puede ser computacionalmente costoso.

Conjuntos de bases de espacio real

Los enfoques del espacio real ofrecen métodos poderosos para resolver problemas de estructuras electrónicas gracias a su precisión controlable. Se puede pensar que los conjuntos de bases del espacio real surgen de la teoría de la interpolación , ya que la idea central es representar los orbitales (desconocidos) en términos de algún conjunto de funciones de interpolación.

Se han propuesto varios métodos para construir la solución en el espacio real, incluidos elementos finitos , splines de base , funciones sinc de Lagrange y ondículas . Los algoritmos de diferencias finitas también se incluyen a menudo en esta categoría, aunque hablando precisamente, no forman un conjunto de bases adecuado y no son variacionales, a diferencia de, por ejemplo, los métodos de elementos finitos.

Una característica común de todos los métodos del espacio real es que la precisión del conjunto de bases numéricas es mejorable, de modo que se puede alcanzar el límite del conjunto de bases completo de manera sistemática. Además, en el caso de ondículas y elementos finitos, es fácil utilizar diferentes niveles de precisión en diferentes partes del sistema, de modo que se utilizan más puntos cerca de los núcleos donde la función de onda sufre cambios rápidos y donde la mayor parte del total las energías mienten, mientras que una representación más burda es suficiente lejos de los núcleos; esta característica es extremadamente importante ya que puede usarse para hacer que los cálculos de todos los electrones sean manejables.

Por ejemplo, en los métodos de elementos finitos (FEM), la función de onda se representa como una combinación lineal de un conjunto de polinomios por partes. Los polinomios de interpolación de Lagrange (LIP) son una base de uso común para los cálculos de FEM. El error de interpolación local en la base de orden de LIP es de la forma . Por lo tanto, el conjunto de bases completo se puede alcanzar yendo a elementos cada vez más pequeños (es decir, dividiendo el espacio en subdivisiones cada vez más pequeñas; -MEM adaptativo), cambiando al uso de polinomios de orden superior y superior ( -MEM adaptativo), o mediante una combinación de ambas estrategias ( -FEM adaptativo). Se ha demostrado que el uso de LIP de orden superior es muy beneficioso para la precisión. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle h ^ {n + 1} \ max f ^ {(n + 1)} (\ xi)}$ ${\ Displaystyle h}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle hp}$

Ver también

Referencias

Todos los conjuntos de bases discutidos aquí, junto con otros, se analizan en las referencias a continuación, que a su vez dan referencias a los artículos originales de las revistas:

Levine, Ira N. (1991). Química cuántica . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 461–466. ISBN 978-0-205-12770-2.
Cramer, Christopher J. (2002). Fundamentos de la química computacional . Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. págs. 154-168. ISBN 978-0-471-48552-0.
Jensen, Frank (1999). Introducción a la Química Computacional . John Wiley e hijos. págs. 150-176. ISBN 978-0471980858.
Leach, Andrew R. (1996). Modelado molecular: principios y aplicaciones . Singapur: Longman. págs. 68–77. ISBN 978-0-582-23933-3.
Hehre, Warren J .. (2003). Una guía de mecánica molecular y cálculos químicos cuánticos . Irvine, California: Wavefunction, Inc. págs. 40–47. ISBN 978-1-890661-18-2.
https://web.archive.org/web/20070830043639/http://www.chem.swin.edu.au/modules/mod8/basis1.html
Moran, Damian; Simmonett, Andrew C .; Leach, Franklin E .; Allen, Wesley D .; Schleyer, Paul v. R .; Schaefer, Henry F. (2006). "Los métodos teóricos populares predicen que el benceno y los arenos no son planos". Revista de la Sociedad Química Estadounidense . 128 (29): 9342–3. doi : 10.1021 / ja0630285 . PMID 16848464 .
Choi, Sunghwan; Kwangwoo, Hong; Jaewook, Kim; Woo Youn, Kim (2015). "La precisión de las funciones de Lagrange-sinc como base para el cálculo de la estructura electrónica de átomos y moléculas". La Revista de Física Química . 142 (9): 094116. Código Bibliográfico : 2015JChPh.142i4116C . doi : 10.1063 / 1.4913569 . PMID 25747070 .

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