Teorema de Banach-Alaoglu - Banach–Alaoglu theorem

En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normalizado es compacta en la topología débil * . Una prueba común identifica la bola unitaria con la topología débil * como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología del producto . Como consecuencia del teorema de Tychonoff , este producto, y por tanto la bola unitaria que contiene, es compacto.

Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, es decir, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.

Historia

Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema de Alaoglu es un "resultado muy importante, tal vez el hecho más importante sobre la topología débil * , que hace eco en todo el análisis funcional". En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo de es contablemente débil- * compacta. En 1932, Stefan Banach demostró que la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado separable es secuencialmente débil * compacta (Banach solo consideró la compacidad secuencial ). La prueba del caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu . Según Pietsch [2007], hay al menos 12 matemáticos que pueden reclamar este teorema o un predecesor importante de él. ${\ Displaystyle C ([a, b])}$

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos . Este teorema también se denomina teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil * y comúnmente se denomina simplemente teorema de Alaoglu.

Declaración

Si es un espacio vectorial sobre el campo, entonces denotará el espacio dual algebraico de y estos dos espacios se asociarán de ahora en adelante con el mapa de evaluación bilineal definido por ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle \ cdot, \ cdot \ right \ rangle: X \ times X ^ {\ #} \ to \ mathbb {K}}$

{\ Displaystyle \ left \ langle x, f \ right \ rangle: = f (x)}

donde el triple forma un sistema dual llamado sistema dual canónico .

{\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle}

Si es un

espacio vectorial topológico (TVS), entonces su espacio dual continuo será denotado por donde siempre se mantiene. Denote la topología débil- * en by y denote la topología débil- * en by La topología débil- * también se denomina topología de convergencia puntual porque, dado un mapa y una red de mapas, la red converge en esta topología si y solo si para cada punto del dominio, la red de valores converge con el valor

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime},}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime} \ subseteq X ^ {\ #}}

{\ Displaystyle X ^ {\ #}}

{\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}

{\ Displaystyle f _ {\ bullet}}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle x}

{\ Displaystyle \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I}}

{\ Displaystyle f (x).}

Teorema de Alaoglu : para cualquier espacio vectorial topológico (TVS) ( no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) con espacio dual continuo, el polar ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime},}$

{\ Displaystyle U ^ {\ circ} = \ left \ {x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime} ~: ~ \ sup _ {x \ in U} \ left | x ^ {\ prime} ( x) \ derecha | \ leq 1 \ derecha \}}

de cualquier vecindario de origen en es compacto en la topología débil- * en Además, es igual al polar de con respecto al sistema canónico y también es un subconjunto compacto de

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}.}

{\ Displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle}

{\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}

Prueba que involucra la teoría de la dualidad

Prueba -

Denotar por el campo subyacente de por el cual son los números reales o los números complejos. Esta demostración utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar , sistema dual y operador lineal continuo . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Para comenzar la prueba, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificados. Cuando está dotado de la topología débil *, entonces este espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denota por El espacio es siempre un TVS completo ; sin embargo, puede no ser un espacio completo, razón por la cual esta prueba involucra el espacio.Específicamente , esta prueba usará el hecho de que un subconjunto de un espacio completo de Hausdorff es compacto si (y solo si) está cerrado y totalmente acotado. . Es importante destacar que la topología del subespacio que hereda de es igual a Esto se puede verificar fácilmente por muestra que dada cualquier una red en converge a en una de estas topologías si y sólo si también converge a en la otra topología (la conclusión sigue porque dos topologías son iguales si y solo si tienen exactamente las mismas redes convergentes). ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right),}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime},}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime}}$

El triple es un emparejamiento dual, aunque a diferencia de él, en general, no se garantiza que sea un sistema dual. En todo momento, a menos que se indique lo contrario, todos los conjuntos polares se tomarán con respecto al emparejamiento canónico ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle,}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}$

Sea una vecindad del origen en y sea: ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = \ left \ {f \ in X ^ {\ prime} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$ ser el polar de con respecto al emparejamiento canónico ; ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ} = \ left \ {x \ in X ~: ~ \ sup _ {f \ in U ^ {\ circ}} | f (x) | \ leq 1 \ right \} }$ ser el bipolar de ${\ Displaystyle U}$ con respecto a ; ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
${\ Displaystyle U ^ {\ #} = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$ ser el polar de con respecto al sistema dual canónico ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}$

Un hecho bien conocido sobre los polares de conjuntos es que ${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ \ circ} \ subseteq U ^ {\ circ}.}$

Demuestre que es un subconjunto cerrado de Let y suponga que es una red en que converge en Para concluir que es suficiente (y necesario) mostrar que para cada Porque en el campo escalar y cada valor pertenece al cerrado (en ) subconjunto también debe pertenecer el límite de esta red a este conjunto. Por lo tanto ${\ Displaystyle U ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}:}$ ${\ Displaystyle f \ in X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ Displaystyle f \ in U ^ {\ #},}$ ${\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle u \ in U.}$ ${\ Displaystyle f_ {i} (u) \ af (u)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle f_ {i} (u)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$ ${\ Displaystyle f (u)}$ ${\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1.}$
Muestre eso y luego concluya que es un subconjunto cerrado de ambos y La inclusión se cumple porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa, sea lo que establece exactamente que el funcional lineal está limitado en la vecindad ; por lo tanto, es un funcional lineal continuo (es decir, ) y así se desea. El uso de (1) y el hecho de que la intersección está cerrada en la topología del subespacio en la afirmación de que está cerrada sigue. ${\ Displaystyle U ^ {\ #} = U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right):}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} \ subseteq U ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle \, U ^ {\ #} \ subseteq U ^ {\ circ}, \,}$ ${\ Displaystyle f \ en U ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ #} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$
Demuestre que es un - subconjunto totalmente acotado de Por el teorema bipolar , donde debido a que la vecindad es un subconjunto absorbente del mismo debe ser cierto para el conjunto ; es posible probar que esto implica que es un - subconjunto acotado de Porque distingue puntos de un subconjunto de es - acotado si y sólo si está - totalmente acotado . Así que, en particular, también está totalmente acotado. ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}:}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq U ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$
Concluya que también es un subconjunto totalmente acotado de Recuerde que la topología de es idéntica a la topología subespacial que hereda de Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente acotado", implica que es un subconjunto totalmente acotado de ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}:}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}.}$
Finalmente, deduzca que es un subconjunto compacto de Porque es un TVS completo y es un subconjunto cerrado (por (2)) y totalmente acotado (por (4)) de lo que sigue que es compacto. QED ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}:}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right),}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$

Si es un

espacio vectorial normalizado , entonces el polar de un vecindario está cerrado y delimitado por normas en el espacio dual. En particular, si está la bola unitaria abierta (o cerrada), entonces el polar de es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de (con la norma dual habitual ). En consecuencia, este teorema se puede especializar en:

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X}

Teorema de Banach-Alaoglu - Si es un espacio normado, entonces la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo (dotada de su norma de operador habitual ) es compacta con respecto a la topología débil- * . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Cuando el espacio dual continuo de es un espacio normado de dimensión infinita, entonces es

imposible que la bola unitaria cerrada sea un subconjunto compacto cuando tiene su topología normal habitual. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología normal es compacta si y solo si el espacio es de dimensión finita (véase el teorema de F. Riesz ). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial.

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

Debe advertirse que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil- * sea localmente compacta . Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo una vecindad del origen en la topología fuerte , pero generalmente no es una vecindad del origen en la topología débil *, ya que tiene un interior vacío en la topología débil *, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, es un resultado de Weil que todos los espacios vectoriales topológicos de

Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.

Prueba elemental

La siguiente prueba involucra solo conceptos elementales de la teoría de conjuntos, topología y análisis funcional. En particular, lo que se necesita de la topología es un conocimiento práctico de las redes en los espacios topológicos , la topología del producto y su relación con la convergencia puntual (algunos detalles de esta relación se dan en la demostración). También se necesita familiaridad con el hecho de que un funcional lineal es continuo si y solo si está limitado a una vecindad del origen (esto se describe en el artículo sobre funcionales sublineales ).

Prueba -

Denotar por el campo subyacente de por el cual son los números reales o los números complejos Para cualquier let real ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ Displaystyle r,}$

{\ Displaystyle B_ {r}: = \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq r \}}

denotar la bola cerrada de radio en el origen en el que es un subconjunto compacto y cerrado de

{\ Displaystyle r}

{\ Displaystyle \ mathbb {K},}

{\ Displaystyle \ mathbb {K}.}

Porque es una vecindad del origen en también es un

subconjunto absorbente de entonces para cada existe un número real tal que Let

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle X,}

{\ Displaystyle X,}

{\ Displaystyle x \ in X,}

{\ Displaystyle r_ {x}> 0}

{\ Displaystyle x \ in r_ {x} U: = \ left \ {r_ {x} u: u \ in U \ right \}.}

{\ Displaystyle U ^ {\ #}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \} ~ = ~ \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ f (U) \ subseteq B_ {1} \ right \}}

denotar el polar de con respecto al sistema dual canónico Como se muestra ahora, este conjunto polar es el mismo que el polar de con respecto a

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}

{\ Displaystyle U ^ {\ #}}

{\ Displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}

Prueba de que ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #}:}$ la inclusión es válida porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa, sea lo que establece exactamente que el funcional lineal está limitado en la vecindad ; por lo tanto, es un

funcional lineal continuo (es decir, ) y así se desea. QED

{\ Displaystyle U ^ {\ circ} \ subseteq U ^ {\ #}}

{\ Displaystyle \, U ^ {\ #} \ subseteq U ^ {\ circ}, \,}

{\ Displaystyle f \ en U ^ {\ #}}

{\ Displaystyle \; \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1, \,}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle U}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}

El resto de esta demostración requiere una comprensión adecuada de cómo se identifica el producto cartesiano como el espacio de todas las funciones de la forma. Ahora se ofrece una explicación para los lectores interesados. ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle X \ a \ mathbb {K}.}$

Estreno en identificación de funciones con tuplas

El producto cartesiano generalmente se considera el conjunto de tuplas totalmente indexadas pero, como se describe ahora, también se puede identificar con el espacio de todas las funciones que tienen prototipo ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle X \ a \ mathbb {K}.}$

Tupla de función ${\ Displaystyle \ to}$ : una función perteneciente a se identifica con su " tupla de valores " ( indexada) ${\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle s _ {\ bullet}: = (s (x)) _ {x \ in X}.}$
Tuple Función ${\ Displaystyle \ to}$ : Una tupla en que se identifica con la función definida por ; la "tupla de valores" de esta función es la tupla original ${\ Displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$ ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle s (x): = s_ {x}}$ ${\ Displaystyle \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}.}$

Esta es la razón por la que muchos autores escriben, a menudo sin comentarios, la igualdad

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

y por qué el producto cartesiano a veces se toma como la definición del conjunto de mapas Sin embargo, el producto cartesiano, al ser el producto (categórico) en la categoría de conjuntos (que es un tipo de límite inverso ), también viene equipado con mapas asociados que se conocen como sus proyecciones (de coordenadas) .

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

La proyección canónica del producto cartesiano en cualquier dado es la función ${\ Displaystyle z \ in X}$

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K} \ quad {\ text {definido por}} \ quad s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ mapsto s_ {z}}

donde bajo la identificación anterior, envía una función a

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z}}

{\ Displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} (s): = s (z).}

En palabras, para un punto y la función "enchufar en " es el mismo que "enchufar en ".

{\ Displaystyle z}

{\ Displaystyle s,}

{\ Displaystyle z}

{\ Displaystyle s}

{\ Displaystyle s}

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z}}

Topología

Se supone que el conjunto está dotado de la

topología del producto . Es bien sabido que la topología del producto es idéntica a la topología de la convergencia puntual . Esto se debe a que dado y una red donde y cada es un elemento de entonces la red converge en la topología del producto si y solo si

{\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle f_ {i}}

{\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K},}

{\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ af}

por cada la red converge en

{\ Displaystyle z \ in X,}

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right) \ to \ Pr {} _ {z} (f)}

{\ Displaystyle \ mathbb {K},}

donde y ${\ Displaystyle \; \ Pr {} _ {z} (f) = f (z) \;}$

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right): = \ left (\ Pr {} _ {z} \ left ( f_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}

Por lo tanto, converge en la topología del producto si y solo si converge en forma puntual en ${\ Displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X.}$

También se utilizará en esta prueba el hecho de que la topología de la convergencia puntual se conserva al pasar a subespacios topológicos . Esto significa, por ejemplo, que si para cada hay algún

subespacio (topológico) de, entonces la topología de la convergencia puntual (o de manera equivalente, la topología del producto) es igual a la topología del subespacio que el conjunto hereda de

{\ Displaystyle x \ in X,}

{\ Displaystyle S_ {x} \ subseteq \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle \ mathbb {K}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} S_ {x}}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}

Habiendo establecido que para reducir el desorden de símbolos, este conjunto olar se denotará por ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #},}$ ${\ Displaystyle P}$

{\ Displaystyle P: = U ^ {\ circ}}

a menos que se intente llamar la atención sobre la definición de o

{\ Displaystyle U ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle U ^ {\ #}.}

La demostración del teorema estará completa una vez que se verifiquen las siguientes afirmaciones:

${\ Displaystyle P}$ $PAG$ es un subconjunto cerrado de ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$
- Aquí está dotado de la topología de convergencia puntual, que es idéntica a la

topología del producto .

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}}.}

${\ Displaystyle B_ {r_ {x}} \ subseteq \ mathbb {K}}$ denota la bola cerrada de radio centrada en Porque cada uno se definió al comienzo de esta prueba como

cualquier real que satisfaga (por lo que, en particular, es una elección válida para cada uno ).

{\ Displaystyle r_ {x}}

{\ Displaystyle 0.}

{\ Displaystyle x \ in X,}

{\ Displaystyle r_ {x}}

{\ Displaystyle r_ {x}> 0}

{\ Displaystyle x \ in r_ {x} U}

{\ Displaystyle r_ {u}: = 1}

{\ Displaystyle u \ in U}

Estos enunciados implican que es un subconjunto cerrado de donde este

espacio producto es compacto según el teorema de Tychonoff (porque cada bola cerrada es un espacio compacto). Debido a que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, se deduce que es compacto, que es la principal conclusión del teorema de Banach-Alaoglu.

{\ Displaystyle P}

{\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}

{\ Displaystyle B_ {r_ {x}}}

{\ Displaystyle U ^ {\ circ} = P}

Prueba de (1) :

El espacio dual algebraico es siempre un subconjunto cerrado de (esto se demuestra en el lema siguiente para los lectores que no están familiarizados con este resultado). Para demostrar que está cerrado en él, basta con mostrar que el conjunto definido por ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X},}$ ${\ Displaystyle P_ {U}}$

{\ Displaystyle P_ {U} ~: = ~ \ left \ {f \ in \ mathbb {K} ^ {X} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}

es un subconjunto cerrado de porque entonces es una intersección de dos subconjuntos cerrados de Let y supongamos que es una red en que converge en Para concluir que es suficiente (y necesario) mostrar eso para cada (o de manera equivalente, eso ). Debido a que en el campo escalar y cada valor pertenece al subconjunto cerrado (in ), el límite de esta red también debe pertenecer a este conjunto cerrado. Por tanto, lo que completa la demostración de (1). QED

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}

{\ Displaystyle P_ {U} \ cap X ^ {\ #} = U ^ {\ #} = P}

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

{\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^ {X}}

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ Displaystyle P_ {U}}

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}

{\ Displaystyle f \ in P_ {U},}

{\ Displaystyle u \ in U,}

{\ Displaystyle | f (u) | \ leq 1}

{\ Displaystyle f (u) \ en B_ {1}}

{\ Displaystyle \ left (f_ {i} (u) \ right) _ {i \ in I} \ af (u)}

{\ Displaystyle \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle f_ {i} (u)}

{\ Displaystyle \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle B_ {1} = \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}

{\ Displaystyle f (u)}

{\ Displaystyle f (u) \ en B_ {1},}

Como nota al margen, esta prueba se puede generalizar para probar el siguiente resultado más general, del cual se sigue la conclusión anterior como el caso especial y ${\ Displaystyle Y: = \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle B: = B_ {1}.}$

Proposición : Si es cualquier conjunto y si es un subconjunto

cerrado de un espacio topológico, entonces es un subconjunto cerrado de con respecto a la topología de convergencia puntual.

{\ Displaystyle U \ subseteq X}

{\ Displaystyle B \ subseteq Y}

{\ Displaystyle Y,}

{\ Displaystyle P_ {U}: = \ left \ {f \ in Y ^ {X} ~: ~ f (U) \ subseteq B \ right \}}

{\ Displaystyle Y ^ {X}}

Prueba de (2) :

Para cualquier let denote la proyección a la coordenada

^th (como se define arriba). Para demostrar que es suficiente (y necesario) mostrar que para cada So, arregla y deja ; Queda por mostrar que la condición definitoria en fue la que implica que porque el funcional lineal satisface y por lo tanto implica

{\ Displaystyle z \ in X,}

{\ textstyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle z}

{\ textstyle P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {x} (P) \ subseteq B_ {r_ {x}}}

{\ Displaystyle x \ in X.}

{\ Displaystyle x \ in X}

{\ Displaystyle f \ in P}

{\ Displaystyle \ Pr {} _ {x} (f): = f (x) \ in B_ {r_ {x}}.}

{\ Displaystyle r_ {x}> 0}

{\ Displaystyle x \ in r_ {x} U, \,}

{\ textstyle \, u_ {x}: = \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} \ right) x \ in U. \,}

{\ Displaystyle f \ in P = U ^ {\ #},}

{\ Displaystyle f}

{\ estilo de texto \; \ sup _ {u \ en U} | f (u) | \ leq 1 \;}

{\ Displaystyle u_ {x} \ in U}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {r_ {x}}} | f (x) | = \ left | {\ frac {1} {r_ {x}}} f (x) \ right | = \ left | f \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} x \ right) \ right | = \ left | f \ left (u_ {x} \ right) \ right | \ leq \ sup _ {u \ en U} | f (u) | \ leq 1.}

Por lo tanto, lo que muestra eso como se desea. QED ${\ Displaystyle | f (x) | \ leq r_ {x},}$ ${\ Displaystyle f (x) \ en B_ {r_ {x}},}$

La prueba elemental anterior en realidad muestra que si hay un subconjunto que satisface (como cualquier subconjunto absorbente de ), entonces es un subconjunto débil- * compacto de ${\ Displaystyle U \ subseteq X}$ ${\ Displaystyle X = (0, \ infty) U: = \ {ru: r> 0, u \ in U \}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ #}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ f (U) \ subseteq B_ {1} \ right \}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}.}$

Como nota al margen, con la ayuda de la prueba elemental anterior, se puede mostrar (ver esta nota al pie) que

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} U ^ {\ circ} & = U ^ {\ #} && \\ & = X ^ {\ #} && \ cap \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}} \\ & = X ^ {\ prime} && \ cap \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}} \\\ end {alignedat}}}

donde los números reales son "mínimos" en el siguiente sentido: cada se define por para cada con (como en la demostración) y

{\ Displaystyle m_ {x} \ geq 0}

{\ Displaystyle m_ {x}}

{\ Displaystyle m_ {x}: = \ inf \ left \ {R_ {x}: R _ {\ bullet} \ in T_ {P} \ right \}}

{\ Displaystyle x \ in X,}

{\ Displaystyle P: = U ^ {\ circ}}

{\ Displaystyle T_ {P} ~: = ~ \ left \ {R _ {\ bullet} = \ left (R_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ in \ prod _ {x \ in X} [ 0, \ infty) ~: ~ P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} \ right \}.}

De hecho,

{\ Displaystyle \ left (m_ {x} \ right) _ {x \ in X} ~ \ in ~ T_ {P} \ quad {\ text {y}} \ quad \ prod _ {x \ in X} B_ { m_ {x}} ~ = ~ \ cap {\ mathcal {B}} _ {P} ~ \ in ~ {\ mathcal {B}} _ {P}}

donde denota la intersección de todos los conjuntos pertenecientes a

{\ textstyle \ bigcap {\ mathcal {B}} _ {P}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {P}: = \ left \ {\ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} ~: ~ R _ {\ bullet} \ in T_ {P} \ right \} ~ = ~ \ left \ {\ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} ~: ~ P \ subseteq \ prod _ {x \ in X} B_ {R_ {x}} { \ text {y}} R_ {x} \ geq 0 {\ text {para todos}} x \ in X \ right \}.}

Esto implica (entre otras cosas) que el único elemento mínimo de con respecto a ; esto puede usarse como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado ). La función es seminormal y no cambia si se reemplaza por el casco convexo equilibrado de (porque ). Del mismo modo, porque tampoco cambia si se reemplaza por su cierre en ${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {m_ {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} _ {P}}$ ${\ Displaystyle \, \ subseteq}$ ${\ Displaystyle m _ {\ bullet}: = \ left (m_ {x} \ right) _ {x \ in X}: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ #} = [\ operatorname {cobal} U] ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = \ left [\ operatorname {cl} _ {X} U \ right] ^ {\ circ},}$ ${\ Displaystyle m _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X.}$

Lema : el espacio dual algebraico de cualquier espacio vectorial sobre un campo (donde es o ) es un subconjunto cerrado de en la topología de convergencia puntual. (El espacio vectorial no necesita estar dotado de ninguna topología). ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle X}$

Prueba de lema

Notación para redes y composición de funciones con redes

Un net in es, por definición, una función de un conjunto dirigido no vacío. Cada secuencia en la que, por definición, es solo una función de la forma, también es un net. Al igual que con las secuencias, el valor de una red en un índice se denota por ; sin embargo, para esta prueba, este valor también puede ser indicado por la función usual paréntesis notación similar, para la composición de funciones , si es cualquier función a continuación, la red (o secuencia) que los resultados de "enchufar en " es sólo la función aunque esto está típicamente denota por (o por si es una secuencia). En esta prueba, esta red resultante puede ser denotada por cualquiera de las siguientes notaciones ${\ Displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet}: I \ a X}$ ${\ Displaystyle (I, \ leq).}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ a X,}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle i \ in I}$ ${\ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet} (i).}$ ${\ Displaystyle F: X \ a Y}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F \ circ x _ {\ bullet}: I \ a Y,}$ ${\ Displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet}}$

{\ Displaystyle F \ left (x _ {\ bullet} \ right) = \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}: = F \ circ x _ {\ bullet} ,}

dependiendo de la notación que sea más limpia o que comunique con mayor claridad la información deseada. En particular, si es continuo y en entonces la conclusión comúnmente escrito como en lugar se puede escribir como o ${\ Displaystyle F: X \ a Y}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet} \ to x}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ left (F \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} \ to F (x)}$ ${\ Displaystyle F \ left (x _ {\ bullet} \ right) \ to F (x)}$ ${\ Displaystyle F \ circ x _ {\ bullet} \ to F (x).}$

Inicio de prueba :

Supongamos y supongamos que es una red en converge a en Si entonces denotará la red de valores en ${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$ ${\ Displaystyle z \ in X}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} (z): I \ to \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle z}$

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (z): = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}

Para concluir que se debe demostrar que es un funcional lineal, sea un escalar y dejemos que La topología en es la topología de convergencia puntual, por lo que al considerar los puntos y la convergencia de en implica que cada una de las siguientes redes de escalares converge en ${\ Displaystyle f \ in X ^ {\ #},}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle x, y \ en X.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle x, y, sx,}$ ${\ Displaystyle x + y,}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} \ to f}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}:}$

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (x) \ af (x), \ quad f _ {\ bullet} (y) \ af (y), \ quad f _ {\ bullet} (x + y) \ af (x + y), \ quad {\ text {y}} \ quad f _ {\ bullet} (sx) \ af (sx).}

Prueba de que Sea el mapa de "multiplicación por " definido por Porque es continuo y en él se sigue que donde está el lado derecho y el lado izquierdo es ${\ Displaystyle f (sx) = sf (x):}$ ${\ Displaystyle M: \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle s}$ ${\ Displaystyle M (c): = sc.}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} (x) \ af (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right) \ to M (f (x))}$ ${\ Displaystyle M (f (x)) = sf (x)}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {4} M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right) = & ~ \ left (M \ left (f_ {i} (x) \ right) \ right) _ {i \ in I} ~~~ && {\ text {porque}} M \ left (f _ {\ bullet} (x) \ right): = M \ circ f _ {\ bullet} (x) {\ text { donde}} f _ {\ bullet} (x) = \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I}: I \ to \ mathbb {K} \\ = & ~ \ left (sf_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I} && M \ left (f_ {i} (x) \ right): = sf_ {i} (x) \\ = & ~ \ left (f_ {i } (sx) \ right) _ {i \ in I} && {\ text {por linealidad de}} f_ {i} \\ = & ~ f _ {\ bullet} (sx) && {\ text {notation}} \ end {alignedat}}}

lo que prueba que porque también y los límites en son únicos, se sigue que como se desee.

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (sx) \ to sf (x).}

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (sx) \ af (sx)}

{\ Displaystyle \ mathbb {K}}

{\ Displaystyle sf (x) = f (sx),}

Prueba de que Defina una red dejando para cada Porque y se deduce que en Sea el mapa de adición definido por La continuidad de implica que en donde está el lado derecho y el lado izquierdo ${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y):}$ ${\ Displaystyle z _ {\ bullet} = \ left (z_ {i} \ right) _ {i \ in I}: I \ to \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle z_ {i}: = \ left (f_ {i} (x), f_ {i} (y) \ right)}$ ${\ Displaystyle i \ in I.}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} (x) = \ left (f_ {i} (x) \ right) _ {i \ in I} \ af (x)}$ ${\ Displaystyle f _ {\ bullet} (y) = \ left (f_ {i} (y) \ right) _ {i \ in I} \ af (y),}$ ${\ Displaystyle z _ {\ bullet} \ to (f (x), f (y))}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K}.}$ ${\ Displaystyle A: \ mathbb {K} \ times \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle A (x, y): = x + y.}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A \ left (z _ {\ bullet} \ right) \ to A (f (x), f (y))}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle A (f (x), f (y)) = f (x) + f (y)}$

{\ Displaystyle A \ left (z _ {\ bullet} \ right): = A \ circ z _ {\ bullet} = \ left (A \ left (z_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (A \ left (f_ {i} (x), f_ {i} (y) \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (x) + f_ { i} (y) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (x + y) \ right) _ {i \ in I} = f _ {\ bullet} (x + y)}

lo que prueba que porque también se sigue que como se desee. QED

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (x + y) \ af (x) + f (y).}

{\ Displaystyle f _ {\ bullet} (x + y) \ af (x + y),}

{\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y),}

Corolario del lema : cuando el espacio dual algebraico de un espacio vectorial está equipado con la topología de convergencia puntual (también conocida como topología débil *), el espacio vectorial topológico resultante (TVS) es un TVS localmente convexo de Hausdorff completo . ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$

Prueba de corolario -

Debido a que el campo subyacente es un TVS localmente convexo de Hausdorff completo, lo mismo ocurre con el producto cartesiano. Un subconjunto cerrado de un espacio completo está completo, por lo que según el lema, el espacio es completo. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}$ ${\ Displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del teorema, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil *. De hecho, la topología débil * en la bola unitaria cerrada del dual de un espacio separable es metrizable y, por lo tanto, la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.

Específicamente, sea un espacio normado separable y la bola unitaria cerrada en Dado que es separable, sea un subconjunto denso contable. Entonces lo siguiente define una métrica, donde para cualquier ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}.}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle x, y \ en B}$

{\ Displaystyle \ rho (x, y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \, 2 ^ {- n} \, {\ frac {\ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |} {1+ \ left | \ langle xy, x_ {n} \ rangle \ right |}}}

en el que denota el emparejamiento de dualidad de con la compacidad secuencial de en esta métrica se puede mostrar mediante un argumento de diagonalización similar al empleado en la demostración del teorema de Arzelà-Ascoli .

{\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X.}

{\ Displaystyle B}

Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de elección), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu se usa a menudo en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a PDE o problemas variacionales. . Por ejemplo, si uno quiere minimizar un funcional en el dual de un espacio vectorial normado separable, una estrategia común es construir primero una secuencia minimizadora que se acerque al mínimo de usar el teorema secuencial de Banach-Alaoglu para extraer una subsecuencia que converja en el débil * topología hasta un límite y luego establecer que es un minimizador de El último paso a menudo requiere obedecer una propiedad de

semicontinuidad inferior (secuencial) en la topología débil *.

{\ Displaystyle F: X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle X,}

{\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ in X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle F,}

{\ Displaystyle x,}

{\ Displaystyle x}

{\ Displaystyle F.}

{\ Displaystyle F}

Cuando está el espacio de medidas finitas de radón en la línea real (de modo que es el espacio de funciones continuas que desaparecen en el infinito, según el

teorema de representación de Riesz ), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu es equivalente al teorema de selección de Helly .

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X = C_ {0} (\ mathbb {R})}

Prueba -

Por cada deja ${\ Displaystyle x \ in X,}$

{\ Displaystyle D_ {x} = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ leq \ | x \ | \},}

y

{\ Displaystyle D = \ prod _ {x \ in X} D_ {x}.}

Debido a que cada uno es un subconjunto compacto del plano complejo, también es compacto en la topología del producto según el teorema de Tychonoff . ${\ Displaystyle D_ {x}}$ ${\ Displaystyle D}$

La bola de unidad cerrada se puede identificar como un subconjunto de de forma natural: ${\ Displaystyle X ^ {\ prime},}$ ${\ Displaystyle B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle D}$

{\ Displaystyle f \ in B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right) \ mapsto (f (x)) _ {x \ in X} \ in D.}

Este mapa es inyectivo y continuo, con la topología débil * y la topología del producto. La inversa de este mapa, definida en su rango, también es continua. ${\ Displaystyle B_ {1} \ left (X ^ {\ prime} \ right)}$ ${\ Displaystyle D}$

Para terminar de probar este teorema, ahora se mostrará que el rango del mapa anterior está cerrado. Dada una red

{\ Displaystyle \ left (f _ {\ alpha} (x) \ right) _ {x \ in X} \ to \ left (\ lambda _ {x} \ right) _ {x \ in X}}

en el funcional definido por

{\ Displaystyle D,}

{\ Displaystyle g (x) = \ lambda _ {x}}

yace en

{\ Displaystyle B_ {1} (X ^ {\ prime}).}

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normativos

Supongamos que es un

espacio normado y dote a su espacio dual continuo con la norma dual habitual .

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

La bola de la unidad cerrada es débil * compacta. Entonces, si es de dimensión infinita, entonces su bola unitaria cerrada

no es necesariamente compacta en la topología normal según el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débil- * compacto).

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle X ^ {\ prime}}

Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es compacta.

{\ Displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}

Si es un

espacio de Banach reflexivo , entonces cada secuencia acotada en tiene una subsecuencia débilmente convergente. (Esto se sigue aplicando el teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrizable de ; o, más sucintamente, aplicando el teorema de Eberlein-Šmulian .) Por ejemplo, suponga que es el espacio Lp espacio. Sea una secuencia acotada de funciones en Entonces existe una subsecuencia y una tal que

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle L ^ {p} (\ mu),}

{\ Displaystyle 1 <p <\ infty.}

{\ Displaystyle f_ {n}}

{\ Displaystyle X.}

{\ Displaystyle f_ {n_ {k}}}

{\ Displaystyle f \ en X}

{\ Displaystyle \ int f_ {n_ {k}} g \, d \ mu \ to \ int fg \, d \ mu}

para todos donde ). El resultado correspondiente para no es cierto, ya que no es reflexivo.

{\ Displaystyle g \ in L ^ {q} (\ mu) = X ^ {\ prime}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}

{\ Displaystyle p = 1}

{\ Displaystyle L ^ {1} (\ mu)}

Consecuencias para los espacios de Hilbert

En un espacio de Hilbert, cada conjunto delimitado y cerrado es débilmente relativamente compacto, por lo tanto, cada red delimitada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos ).
Como los conjuntos convexos cerrados por norma están débilmente cerrados ( teorema de Hahn-Banach ), los cierres normativos de conjuntos acotados convexos en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.
Los conjuntos cerrados y acotados son precompactos con respecto a la

topología de operador débil (la topología de operador débil es más débil que la topología ultradebil que es a su vez la topología débil * con respecto a la predual de los operadores de clase de rastreo ). Por tanto, las secuencias acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. Como consecuencia, tiene la propiedad Heine-Borel , si está equipado con el operador débil o la topología ultra débil.

{\ Displaystyle B (H)}

{\ Displaystyle B (H),}

{\ Displaystyle B (H)}

Relación con el axioma de elección

Dado que el teorema de Banach-Alaoglu generalmente se demuestra a través del teorema de Tychonoff , se basa en el marco axiomático ZFC y, en particular, en el axioma de elección . La mayoría de los análisis funcionales convencionales también se basan en ZFC. Sin embargo, el teorema no se basa en el axioma de elección en el caso separable (ver arriba ): en este caso uno tiene realmente una demostración constructiva. En el caso no separable, el ultrafiltro Lemma , que es estrictamente más débil que el axioma de elección, es suficiente para demostrar el teorema de Banach-Alaoglu y, de hecho, es equivalente a él.

Ver también

Teorema de Bishop-Phelps
Teorema de Banach-Mazur
Teorema de compacidad delta
Teorema de Eberlein-Šmulian : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
Teorema de Goldstine
Teorema de james
Teorema de Kerin-Milman
Lema de Mazur : sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach
Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad

Notas

Pruebas

Referencias

Köthe, Gottfried (1969). Espacios vectoriales topológicos I . Nueva York: Springer-Verlag. Ver §20.9.
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.Véase el teorema 23.5, pág. 264.
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . Véase el teorema 3.15, pág. 68.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos. San Diego: Prensa académica.
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

Otras lecturas

John B. Conway (1994). Un curso de análisis funcional (2ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. Consulte el Capítulo 5, sección 3.
Peter B. Lax (2002). Análisis funcional . Wiley-Interscience. págs. 120-121. ISBN 0-471-55604-1.

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Contenido

Historia

Declaración

Prueba que involucra la teoría de la dualidad

Prueba elemental

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normativos

Consecuencias para los espacios de Hilbert

Relación con el axioma de elección

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas