Esquema de axioma - Axiom schema
En lógica matemática , un esquema de axioma (plural: esquemas de axioma o esquemas de axioma ) generaliza la noción de axioma .
Definicion formal
Un esquema de axioma es una fórmula en el metalenguaje de un sistema axiomático , en la que aparecen una o más variables esquemáticas . Estas variables, que son construcciones metalingüísticas, representan cualquier término o subfórmula del sistema, que puede ser necesario o no para satisfacer determinadas condiciones. A menudo, tales condiciones requieren que ciertas variables sean libres o que ciertas variables no aparezcan en la subfórmula o término.
Axiomatización finita
Dado que el número de posibles subfórmulas o términos que se pueden insertar en lugar de una variable esquemática es numerablemente infinito , un esquema de axioma representa un conjunto numerablemente infinito de axiomas. Este conjunto normalmente se puede definir de forma recursiva . Se dice que una teoría que puede axiomatizarse sin esquemas está finitamente axiomatizada . Las teorías que pueden axiomatizarse de forma finita se consideran un poco más metamatemáticamente elegantes, incluso si son menos prácticas para el trabajo deductivo.
Ejemplos
Dos ejemplos bien conocidos de esquemas de axiomas son:
- esquema de inducción que forma parte de los axiomas de Peano para la aritmética de los números naturales ;
- esquema de axioma de reemplazo que es parte de la axiomatización estándar ZFC de la teoría de conjuntos .
Czesław Ryll-Nardzewski demostró que la aritmética de Peano no se puede axiomatizar de forma finita, y Richard Montague demostró que la ZFC no se puede axiomatizar de forma finita. Por tanto, los esquemas de axioma no pueden eliminarse de estas teorías. Este es también el caso de algunas otras teorías axiomáticas en matemáticas, filosofía, lingüística, etc.
Teorías finamente axiomatizadas
Todos los teoremas de ZFC son también teoremas de la teoría de conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel , pero este último puede ser axiomatizado de forma finita. La teoría de conjuntos Nuevos Fundamentos se puede axiomatizar finamente, pero solo con cierta pérdida de elegancia.
En lógica de orden superior
Las variables esquemáticas en la lógica de primer orden suelen ser trivialmente eliminables en la lógica de segundo orden , porque una variable esquemática suele ser un marcador de posición para cualquier propiedad o relación sobre los individuos de la teoría. Este es el caso de los esquemas de inducción y reemplazo mencionados anteriormente. La lógica de orden superior permite que las variables cuantificadas abarquen todas las propiedades o relaciones posibles.
Ver también
- Esquema axiomático de separación predicativa
- Esquema axiomático de reemplazo
- Esquema axiomático de especificación
Notas
Referencias
- Corcoran, John (2006), "Esquemas: el concepto de esquema en la historia de la lógica", Boletín de lógica simbólica , 12 : 219-240 .
- Corcoran, John (2016). "Esquema" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4a ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7 .
- Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", en Samuel R. Buss (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, págs. 45-69 .
- Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Oxford University Press, ISBN 9780199269730 .
- Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "El papel del axioma de la inducción en aritmética elemental" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239-263 .