Números grandes - Large numbers

Los números que son significativamente más grandes que los que se usan típicamente en la vida cotidiana, por ejemplo, en el conteo simple o en las transacciones monetarias, aparecen con frecuencia en campos como las matemáticas , la cosmología , la criptografía y la mecánica estadística . El término normalmente se refiere a números enteros positivos grandes , o más generalmente, números reales positivos grandes , pero también puede usarse en otros contextos. El estudio de la nomenclatura y las propiedades de grandes números a veces se denomina googología.

A veces, la gente se refiere a un gran número como "astronómicamente grande"; sin embargo, es fácil definir matemáticamente números que son mucho más grandes incluso que los que se usan en astronomía.

En el mundo cotidiano

La notación científica se creó para manejar la amplia gama de valores que ocurren en el estudio científico. 1.0 × 10 9 , por ejemplo, significa mil millones , un 1 seguido de nueve ceros: 1000 000 000 y 1.0 × 10 −9 significa mil millonésima, o 0,000 000 001. Escribir 10 9 en lugar de nueve ceros ahorra a los lectores el esfuerzo y el riesgo de contar una larga serie de ceros para ver qué tan grande es el número.

Ejemplos de grandes números que describen objetos cotidianos del mundo real incluyen:

  • El número de células en el cuerpo humano (estimado en 3,72 × 10 13 )
  • La cantidad de bits en el disco duro de una computadora (a partir de 2021, generalmente alrededor de 10 13 , 1 a 2  TB )
  • El número de conexiones neuronales en el cerebro humano (estimado en 10 14 )
  • La constante de Avogadro es el número de "entidades elementales" (generalmente átomos o moléculas) en un mol ; el número de átomos en 12 gramos de carbono-12  - aproximadamente6.022 × 10 23 .
  • El número total de pares de bases de ADN dentro de toda la biomasa de la Tierra, como posible aproximación de la biodiversidad global , se estima en (5,3 ± 3,6) × 10 37
  • La masa de la Tierra consta de aproximadamente 4x10 51 nucleones.
  • El número estimado de átomos en el universo observable (10 80 )
  • El límite inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez, también conocido como el " número de Shannon " (estimado en alrededor de 10 120 )

Astronómico

Otros grandes números, en cuanto a longitud y tiempo, se encuentran en astronomía y cosmología . Por ejemplo, el modelo actual del Big Bang sugiere que el universo tiene 13,8 mil millones de años (4,355 × 10 17 segundos) y que el universo observable tiene 93 mil millones de años luz de diámetro (8,8 × 10 26 metros) y contiene aproximadamente 5 × 10 22 estrellas, organizadas en alrededor de 125 mil millones (1,25 × 10 11 ) de galaxias, según las observaciones del telescopio espacial Hubble. Hay alrededor de 10 80 átomos en el universo observable , según una estimación aproximada.

Según Don Page , físico de la Universidad de Alberta, Canadá, el tiempo finito más largo que hasta ahora ha sido calculado explícitamente por un físico es

que corresponde a la escala de un tiempo de recurrencia de Poincaré estimado para el estado cuántico de una caja hipotética que contiene un agujero negro con la masa estimada de todo el universo, observable o no, asumiendo un determinado modelo inflacionario con un inflatón cuya masa es 10 −6 Masas de Planck . Esta vez asume un modelo estadístico sujeto a recurrencia de Poincaré. Una forma mucho más simplificada de pensar sobre este tiempo es en un modelo en el que la historia del universo se repite arbitrariamente muchas veces debido a las propiedades de la mecánica estadística ; esta es la escala de tiempo en la que primero será algo similar (para una elección razonable de "similar") a su estado actual nuevamente.

Los procesos combinatorios generan rápidamente números aún mayores. La función factorial , que define el número de permutaciones en un conjunto de objetos fijos, crece muy rápidamente con el número de objetos. La fórmula de Stirling proporciona una expresión asintótica precisa para esta tasa de crecimiento.

Los procesos combinatorios generan números muy grandes en mecánica estadística. Estos números son tan grandes que normalmente solo se hace referencia a ellos mediante sus logaritmos .

Los números de Gödel y números similares utilizados para representar cadenas de bits en la teoría algorítmica de la información son muy grandes, incluso para enunciados matemáticos de longitud razonable. Sin embargo, algunos números patológicos son incluso mayores que los números de Gödel de las proposiciones matemáticas típicas.

El lógico Harvey Friedman ha realizado trabajos relacionados con números muy grandes, como el teorema del árbol de Kruskal y el teorema de Robertson-Seymour .

"Miles de millones y miles de millones"

Para ayudar a los espectadores de Cosmos a distinguir entre "millones" y "miles de millones", el astrónomo Carl Sagan enfatizó la "b". Sin embargo, Sagan nunca dijo " miles de millones y miles de millones ". La asociación del público de la frase y Sagan provino de un sketch de Tonight Show . Parodiando el afecto de Sagan, Johnny Carson bromeó sobre "miles y miles de millones". Sin embargo, la frase se ha convertido ahora en un número ficticio humorístico: el Sagan . Cf. , Unidad Sagan .

Ejemplos de

  • googol =
  • centillion = o , dependiendo del sistema de nomenclatura numérica
  • millinillion = o , dependiendo del sistema de nomenclatura numérica
  • El más grande conocido número Smith = (10 1031 -1) × (10 4594 + 3 × 10 2297 + 1) 1476 × 10 3 913 210
  • La prima de Mersenne más grande conocida = ( al 21 de diciembre de 2018 )
  • googolplex =
  • Números sesgados : el primero es aproximadamente , el segundo
  • Número de Graham , mayor de lo que se puede representar incluso usando torres de energía ( tetración ). Sin embargo, se puede representar utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth.
  • El teorema del árbol de Kruskal es una secuencia relacionada con gráficos. TREE (3) es más grande que el número de Graham .
  • El número de Rayo es un número grande que lleva el nombre de Agustín Rayo, que se ha afirmado que es el número con nombre más grande. Originalmente se definió en un "duelo de números grandes" en el MIT el 26 de enero de 2007.

Sistema de escritura estandarizado

Una forma estandarizada de escribir números muy grandes permite clasificarlos fácilmente en orden creciente, y uno puede tener una buena idea de cuánto más grande es un número que otro.

Para comparar números en notación científica, digamos 5 × 10 4 y 2 × 10 5 , compare los exponentes primero, en este caso 5> 4, entonces 2 × 10 5 > 5 × 10 4 . Si los exponentes son iguales, la mantisa (o coeficiente) debe compararse, por lo tanto, 5 × 10 4 > 2 × 10 4 porque 5> 2.

La tetración con base 10 da la secuencia , las torres de energía de los números 10, donde denota un poder funcional de la función (la función también se expresa por el sufijo "-plex" como en googolplex, ver la familia Googol ).

Estos son números muy redondos, cada uno representa un orden de magnitud en un sentido generalizado. Una forma burda de especificar qué tan grande es un número es especificar entre qué dos números de esta secuencia se encuentra.

Más precisamente, los números intermedios se pueden expresar en la forma , es decir, con una torre de energía de 10 y un número en la parte superior, posiblemente en notación científica, p . Ej. , Un número entre y (tenga en cuenta que si ). (Véase también la extensión de la tetración a alturas reales ).

Así googolplex es

Otro ejemplo:

(entre y )

Por lo tanto, el "orden de magnitud" de un número (en una escala mayor de lo que se suele significar), se puede caracterizar por el número de veces ( n ) que uno tiene que tomar para obtener un número entre 1 y 10. Por lo tanto, el número es entre y . Como se explicó, una descripción más precisa de un número también especifica el valor de este número entre 1 y 10, o el número anterior (tomando el logaritmo una vez menos) entre 10 y 10 10 , o el siguiente, entre 0 y 1.

Tenga en cuenta que

Es decir, si un número x es demasiado grande para una representación , podemos hacer que la torre de energía sea más alta, reemplazando x por log 10 x , o encontrar x a partir de la representación de la torre inferior del log 10 del número entero. Si la torre de energía tuviera uno o más números diferentes de 10, los dos enfoques conducirían a resultados diferentes, lo que corresponde al hecho de que extender la torre de energía con un 10 en la parte inferior no es lo mismo que extenderla con un 10 en la parte inferior. la parte superior (pero, por supuesto, se aplican observaciones similares si toda la torre de energía consta de copias del mismo número, diferente de 10).

Si la altura de la torre es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a la altura misma. Si la altura se da solo aproximadamente, dar un valor en la parte superior no tiene sentido, por lo que podemos usar la notación de doble flecha, por ejemplo . Si el valor después de la flecha doble es un número muy grande, lo anterior se puede aplicar de forma recursiva a ese valor.

Ejemplos:

(entre y )
(entre y )

De manera similar a lo anterior, si el exponente de no se da exactamente, entonces dar un valor a la derecha no tiene sentido, y podemos, en lugar de usar la notación de potencia de , sumar 1 al exponente de , por lo que obtenemos, por ejemplo .

Si el exponente de es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a este exponente. Si este exponente no se da exactamente, entonces, nuevamente, dar un valor a la derecha no tiene sentido, y podemos, en lugar de usar la notación de potencia de , usar el operador de flecha triple, por ejemplo .

Si el argumento de la derecha del operador de flecha triple es grande, se aplica lo anterior, por lo que tenemos, por ejemplo, (entre y ). Esto se puede hacer de forma recursiva, por lo que podemos tener una potencia del operador de flecha triple.

Podemos proceder con operadores con mayor número de flechas, escritas .

Compare esta notación con el hiperoperador y la notación de flecha encadenada de Conway :

= ( abn ) = hiper ( an  + 2,  b )

Una ventaja de la primera es que cuando se considera como función de b , existe una notación natural para potencias de esta función (al igual que al escribir los n flechas): . Por ejemplo:

= (10 → (10 → (10 → b → 2) → 2) → 2)

y solo en casos especiales se reduce la notación de cadena anidada larga; para b = 1 obtenemos:

= (10 → 3 → 3)

Dado que b también puede ser muy grande, en general escribimos un número con una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (con exponentes enteros dados exactamente ) con al final un número en notación científica ordinaria. Siempre que a es demasiado grande para darse exactamente, el valor de se incrementa en 1 y todo lo que está a la derecha de se reescribe.

Para describir números aproximadamente, no se necesitan desviaciones del orden decreciente de valores de n . Por ejemplo , y . Por tanto, tenemos el resultado un tanto contrario a la intuición de que un número x puede ser tan grande que, en cierto modo, x y 10 x son "casi iguales" (para la aritmética de números grandes, véase también más adelante).

Si el superíndice de la flecha hacia arriba es grande, las diversas representaciones para números grandes se pueden aplicar a este superíndice. Si este superíndice no se da exactamente, entonces no tiene sentido elevar al operador a una potencia particular o ajustar el valor sobre el que actúa. Simplemente podemos usar un valor estándar a la derecha, digamos 10, y la expresión se reduce a con una n aproximada . Para tales números, la ventaja de usar la notación de flecha hacia arriba ya no se aplica, y también podemos usar la notación de cadena.

Lo anterior se puede aplicar de forma recursiva para esta n , por lo que obtenemos la notación en el superíndice de la primera flecha, etc., o tenemos una notación de cadena anidada, por ejemplo:

(10 → 10 → (10 → 10 → )) =

Si el número de niveles se vuelve demasiado grande para ser conveniente, se usa una notación donde este número de niveles se escribe como un número (como usar el superíndice de la flecha en lugar de escribir muchas flechas). Introduciendo una función = (10 → 10 → n ), estos niveles se convierten en potencias funcionales de f , lo que nos permite escribir un número en la forma donde m se da exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente (por ejemplo :) . Si n es grande, podemos usar cualquiera de los anteriores para expresarlo. Los "más redondos" de estos números son los de la forma f m (1) = (10 → 10 → m → 2). Por ejemplo,

Compare la definición del número de Graham: usa números 3 en lugar de 10 y tiene 64 niveles de flecha y el número 4 en la parte superior; así , pero también .

Si m in es demasiado grande para dar exactamente, podemos usar una n fija , por ejemplo, n = 1, y aplicar lo anterior de forma recursiva am , es decir, el número de niveles de flechas hacia arriba se representa en sí mismo en la notación de flecha hacia arriba en superíndice, etc. Al usar la notación de potencia funcional de f, se obtienen múltiples niveles de f . Al introducir una función, estos niveles se convierten en potencias funcionales de g , lo que nos permite escribir un número en la forma en la que m se da exactamente y n es un número entero que puede o no darse exactamente. Tenemos (10 → 10 → m → 3) = g m (1). Si n es grande, podemos usar cualquiera de los anteriores para expresarlo. Del mismo modo podemos introducir una función h , etc. Si necesitamos muchas de estas funciones podemos mejorar número de ellas en lugar de utilizar una nueva carta cada vez que, por ejemplo, como un subíndice, por lo que obtener números de la forma en que k y m se dan con exactitud y n es un número entero que puede darse exactamente o no. Usando k = 1 para la f anterior, k = 2 para g , etc., tenemos (10 → 10 → nk ) = . Si n es grande, podemos usar cualquiera de los anteriores para expresarlo. Por lo tanto, obtenemos un anidamiento de formas donde, yendo hacia adentro, la k disminuye, y con como argumento interno una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son enteros exactamente dados) con al final un número en notación científica ordinaria.

Cuando k es demasiado grande para darse exactamente, el número en cuestión se puede expresar como = (10 → 10 → 10 → n ) con una n aproximada . Tenga en cuenta que el proceso de pasar de la secuencia = (10 → n ) a la secuencia = (10 → 10 → n ) es muy similar a pasar de la última a la secuencia = (10 → 10 → 10 → n ): es el proceso general de agregar un elemento 10 a la cadena en la notación de cadena; este proceso se puede repetir de nuevo (ver también la sección anterior). Al numerar las versiones posteriores de esta función, se puede describir un número usando funciones , anidadas en orden lexicográfico con q el número más significativo, pero con orden decreciente para q y para k ; como argumento interno tenemos una secuencia de potencias con valores decrecientes de n (donde todos estos números son exactamente enteros dados) con al final un número en notación científica ordinaria.

Para un número demasiado grande para escribirlo en la notación de flecha encadenada de Conway, podemos describir qué tan grande es por la longitud de esa cadena, por ejemplo, usando solo los elementos 10 en la cadena; en otras palabras, especificamos su posición en la secuencia 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10, .. Si incluso la posición en la secuencia es un número grande, podemos aplicar las mismas técnicas nuevamente para eso.

Ejemplos de

Números expresables en notación decimal:

  • 2 2 = 4
  • 2 2 2 = 2 ↑↑ 3 = 16
  • 3 3 = 27
  • 4 4 = 256
  • 5 5 = 3.125
  • 6 6 = 46,656
  • = 2 ↑↑ 4 = 2 ↑↑↑ 3 = 65,536
  • 7 7 = 823,543
  • 10 6 = 1.000.000 = 1 millón
  • 8 8 = 16.777.216
  • 9 9 = 387,420,489
  • 10 9 = 1.000.000.000 = 1.000 millones
  • 10 10 = 10,000,000,000
  • 10 12 = 1,000,000,000,000 = 1 billón
  • 3 3 3 = 3 ↑↑ 3 = 7,625,597,484,987 ≈ 7,63 × 10 12
  • 10 15 = 1,000,000,000,000,000 = 1 millón de billones = 1 billón

Números expresables en notación científica:

  • Número aproximado de átomos en el universo observable = 10 80 = 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
  • googol = 10 100 = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
  • 4 4 4 = 4 ↑↑ 3 = 2 512 ≈ 1,34 × 10 154 ≈ (10 ↑) 2 2,2
  • Número aproximado de volúmenes de Planck que componen el volumen del universo observable = 8,5 × 10 184
  • 5 5 5 = 5 ↑↑ 3 = 5 3125 ≈ 1,91 × 10 2184 ≈ (10 ↑) 2 3,3
  • 6 6 6 = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 36,305 ≈ (10 ↑) 2 4,6
  • 7 7 7 = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 695,974 ≈ (10 ↑) 2 5,8
  • 8 8 8 = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 × 10 15,151,335 ≈ (10 ↑) 2 7.2
  • , el 50 y, a partir de enero de 2018, la principal prima de Mersenne más grande conocida .
  • 9 9 9 = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 369,693,099 ≈ (10 ↑) 2 8,6
  • 10 10 10 = 10 ↑↑ 3 = 10 10,000,000,000 = (10 ↑) 3 1

Números expresables en (10 ↑) n k notación:

  • googolplex =
  • 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) 5 1
  • 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) 5 1.10
  • 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) 5 4.3
  • 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) 6 1
  • 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) 10 1
  • 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) 65,533 4.3 está entre 10 ↑↑ 65,533 y 10 ↑↑ 65,534

Números más grandes:

  • 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 12 ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 12 está entre (10 ↑↑) 2 2 y (10 ↑↑) 2 3
  • = (10 → 3 → 3)
  • = (10 → 4 → 3)
  • = (10 → 5 → 3)
  • = (10 → 6 → 3)
  • = (10 → 7 → 3)
  • = (10 → 8 → 3)
  • = (10 → 9 → 3)
  • = (10 → 2 → 4) = (10 → 10 → 3)
  • El primer término en la definición del número de Graham, g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10 12 ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 12 ) está entre (10 ↑↑↑) 2 2 y (10 ↑↑↑) 2 3 (Ver número de Graham # Magnitud )
  • = (10 → 3 → 4)
  • = (4 → 4 → 4)
  • = (10 → 4 → 4)
  • = (10 → 5 → 4)
  • = (10 → 6 → 4)
  • = (10 → 7 → 4)
  • = (10 → 8 → 4)
  • = (10 → 9 → 4)
  • = (10 → 2 → 5) = (10 → 10 → 4)
  • (2 → 3 → 2 → 2) = (2 → 3 → 8)
  • (3 → 2 → 2 → 2) = (3 → 2 → 9) = (3 → 3 → 8)
  • (10 → 10 → 10) = (10 → 2 → 11)
  • (10 → 2 → 2 → 2) = (10 → 2 → 100)
  • (10 → 10 → 2 → 2) = (10 → 2 → ) =
  • El segundo término en la definición del número de Graham, g 2 = 3 ↑ g 1 3> 10 ↑ g 1 - 1 10.
  • (10 → 10 → 3 → 2) = (10 → 10 → (10 → 10 → )) =
  • g 3 = (3 → 3 → g 2 )> (10 → 10 → g 2-1 )> (10 → 10 → 3 → 2)
  • g 4 = (3 → 3 → g 3 )> (10 → 10 → g 3 - 1)> (10 → 10 → 4 → 2)
  • ...
  • g 9 = (3 → 3 → g 8 ) está entre (10 → 10 → 9 → 2) y (10 → 10 → 10 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 2)
  • g 10 = (3 → 3 → g 9 ) está entre (10 → 10 → 10 → 2) y (10 → 10 → 11 → 2)
  • ...
  • g 63 = (3 → 3 → g 62 ) está entre (10 → 10 → 63 → 2) y (10 → 10 → 64 → 2)
  • (10 → 10 → 64 → 2)
  • Número de Graham, g 64
  • (10 → 10 → 65 → 2)
  • (10 → 10 → 10 → 3)
  • (10 → 10 → 10 → 4)
  • (10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10)
  • (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) donde hay (10 → 10 → 10) "10" s

Otras notaciones

Algunas notaciones para números extremadamente grandes:

Estas notaciones son esencialmente funciones de variables enteras, que aumentan muy rápidamente con esos números enteros. Las funciones de crecimiento cada vez más rápido se pueden construir fácilmente de forma recursiva aplicando estas funciones con números enteros grandes como argumento.

Una función con una asíntota vertical no es útil para definir un número muy grande, aunque la función aumenta muy rápidamente: uno tiene que definir un argumento muy cercano a la asíntota, es decir, usar un número muy pequeño, y construir que sea equivalente a construir un número muy grande, por ejemplo, el recíproco.

Comparación de valores base

A continuación se ilustra el efecto de una base diferente de 10, base 100. También ilustra representaciones de números y la aritmética.

, con base 10 el exponente se duplica.

, ídem.

, el exponente más alto es poco más del doble (aumentado en log 10 2).

  • (por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" )
  • (compare ; por lo tanto, si n es grande, parece justo decir que es "aproximadamente igual a" )
  • (comparar )
  • (comparar )
  • (compare ; si n es grande, esto es "aproximadamente" igual)

Precisión

Para un número , un cambio de unidad en n cambia el resultado por un factor 10. En un número como , con 6.2 el resultado del redondeo apropiado usando cifras significativas, el valor verdadero del exponente puede ser 50 menos o 50 más. Por tanto, el resultado puede ser un factor demasiado grande o demasiado pequeño. Esto parece una precisión extremadamente pobre, pero para un número tan grande puede considerarse aceptable (un error grande en un número grande puede ser "relativamente pequeño" y por lo tanto aceptable).

Para números muy grandes

En el caso de una aproximación de un número extremadamente grande, el error relativo puede ser grande, pero aún puede haber un sentido en el que queramos considerar los números como "cercanos en magnitud". Por ejemplo, considere

y

El error relativo es

un gran error relativo. Sin embargo, también podemos considerar el error relativo en los logaritmos; en este caso, los logaritmos (en base 10) son 10 y 9, por lo que el error relativo en los logaritmos es solo del 10%.

El punto es que las funciones exponenciales magnificar errores relativos en gran medida - si un y b tienen un pequeño error relativo,

y

el error relativo es mayor, y

y

tendrá un error relativo aún mayor. La pregunta entonces es: ¿en qué nivel de logaritmos iterados deseamos comparar dos números? Hay un sentido en el que podemos querer considerar

y

estar "cerca en magnitud". El error relativo entre estos dos números es grande y el error relativo entre sus logaritmos sigue siendo grande; sin embargo, el error relativo en sus logaritmos de la segunda iteración es pequeño:

y

Tales comparaciones de logaritmos iterados son comunes, por ejemplo, en la teoría analítica de números .

Clases

Una solución al problema de comparar grandes números es definir clases de números, como el sistema ideado por Robert Munafo, que se basa en diferentes "niveles" de percepción de una persona promedio. La clase 0, números entre cero y seis, se define para contener números que se subitizan fácilmente , es decir, números que aparecen con mucha frecuencia en la vida diaria y son comparables casi instantáneamente. La clase 1 (números entre seis y 1.000.000 = 10 <sup> 6 </sup>) se define para contener números cuyas expresiones decimales se subitizan fácilmente, es decir, números que son fácilmente comparables no por cardinalidad , sino "de un vistazo" dado la expansión decimal.

Cada clase después de estas se define en términos de iterar esta exponenciación de base 10, para simular el efecto de otra "iteración" de indistinguibilidad humana. Por ejemplo, la clase 5 se define para incluir números entre 10 10 10 10 6 y 10 10 10 10 10 6 , que son números en los que X se vuelve humanamente indistinguible de X 2 (tomando logaritmos iterados de tales X arroja indistinguibilidad en primer lugar entre log ( X ) y 2log ( X ), en segundo lugar entre log (log ( X )) y 1 + log (log ( X )), y finalmente una expansión decimal extremadamente larga cuya longitud no se puede subitizar).

Aritmética aproximada

Existen algunas reglas generales relacionadas con las operaciones aritméticas habituales que se realizan con números muy grandes:

  • La suma y el producto de dos números muy grandes son ambos "aproximadamente" iguales al mayor.

Por eso:

  • Un número muy grande elevado a una potencia muy grande es "aproximadamente" igual al mayor de los dos valores siguientes: el primer valor y 10 elevado a la potencia del segundo. Por ejemplo, para n muy grande tenemos (ver, por ejemplo, el cálculo de mega ) y también . Por lo tanto , consulte la tabla .

Creación sistemática de secuencias cada vez más rápidas

Dada una secuencia / función de enteros estrictamente creciente ( n ≥1) podemos producir una secuencia de crecimiento más rápido (donde el superíndice n denota la n- ésima potencia funcional ). Esto puede repetirse tantas veces como desee dejando que cada secuencia crezca mucho más rápido que la anterior. Entonces podríamos definir , que crece mucho más rápido que cualquiera para k finito (aquí ω es el primer número ordinal infinito , que representa el límite de todos los números finitos k). Ésta es la base de la jerarquía de funciones de rápido crecimiento, en la que el subíndice de indexación se extiende a ordinales cada vez más grandes.

Por ejemplo, comenzando con f 0 ( n ) = n + 1:

  • f 1 ( norte ) = f 0 norte ( norte ) = norte + norte = 2 norte
  • f 2 ( n ) = f 1 n ( n ) = 2 n n > (2 ↑) n para n ≥ 2 (usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth )
  • f 3 ( n ) = f 2 n ( n )> (2 ↑) n n ≥ 2 ↑ 2 n para n ≥ 2
  • f k +1 ( n )> 2 ↑ k n para n ≥ 2, k
  • f ω ( n ) = f n ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 2 ↑ n - 2 ( n + 3) - 3 = A ( n , n ) para n ≥ 2, donde A es la función de Ackermann ( de la cual f ω es una versión unaria)
  • f ω + 1 (64)> f ω 64 (6)> Número de Graham (= g 64 en la secuencia definida por g 0 = 4, g k +1 = 3 ↑ g k 3)
    • Esto sigue al observar f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n > 3 ↑ n - 2 3 + 2, y por lo tanto f ω ( g k + 2)> g k +1 + 2
  • f ω ( n )> 2 ↑ n - 1 n = (2 → nn -1) = (2 → nn -1 → 1) (usando la notación de flechas encadenadas de Conway )
  • f ω + 1 ( n ) = f ω n ( n )> (2 → nn -1 → 2) (porque si g k ( n ) = X → nk entonces X → nk +1 = g k n (1))
  • f ω + k ( norte )> (2 → nortenorte -1 → k +1)> ( nortenortek )
  • f ω2 ( n ) = f ω + n ( n )> ( nnn ) = ( nnn → 1)
  • f ω2 + k ( n )> ( nnnk )
  • f ω3 ( n )> ( nnnn )
  • f ω k ( n )> ( nn → ... → nn ) (Cadena de k +1 n ' s)
  • f ω 2 ( n ) = f ω n ( n )> ( nn → ... → nn ) (Cadena de n +1 n ' s)

En algunas secuencias no computables

La función de castor ocupado Σ es un ejemplo de una función que crece más rápido que cualquier función computable . Su valor incluso para una entrada relativamente pequeña es enorme. Los valores de Σ ( n ) para n = 1, 2, 3, 4 son 1, 4, 6, 13 (secuencia A028444 en la OEIS ). Σ (5) no se conoce, pero definitivamente es ≥ 4098. Σ (6) es al menos 3,5 × 10 18267 .

Números infinitos

Aunque todos los números discutidos anteriormente son muy grandes, todos son decididamente finitos . Ciertos campos de las matemáticas definen números infinitos y transfinitos . Por ejemplo, aleph-null es la cardinalidad del conjunto infinito de números naturales , y aleph-one es el siguiente número cardinal más grande. es la cardinalidad de los reales . La proposición que se conoce como hipótesis del continuo .

Ver también

Referencias