Área de un círculo - Area of a circle

En geometría , el área encerrada por un círculo de radio r es π r 2 . Aquí la letra griega π representa la relación constante entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro , aproximadamente igual a 3,1416.

Un método para derivar esta fórmula, que se originó con Arquímedes , implica ver el círculo como el límite de una secuencia de polígonos regulares . El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicada por la distancia desde su centro a sus lados , y la fórmula correspondiente, que el área es la mitad del perímetro por el radio, es decir, A = 1/2× 2π r × r , se mantiene en el límite de un círculo.

Aunque a menudo se lo conoce como el área de un círculo en contextos informales, estrictamente hablando, el término disco se refiere al interior del círculo, mientras que círculo se reserva solo para el límite, que es una curva y no cubre ningún área en sí. Por lo tanto, el área de un disco es la frase más precisa para el área encerrada por un círculo.

Historia

Las matemáticas modernas pueden obtener el área utilizando los métodos del cálculo integral o su descendiente más sofisticado, el análisis real . Sin embargo, los antiguos griegos estudiaron el área de un disco . Eudoxo de Cnidus en el siglo V aC había descubierto que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado. Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo en su libro Medición de un círculo . La circunferencia es 2 π r , y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área π r 2 para el disco. Antes de Arquímedes, Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la luna de Hipócrates , pero no identificó la constante de proporcionalidad .

Argumentos históricos

Históricamente se han propuesto una variedad de argumentos para establecer la ecuación con diversos grados de rigor matemático. El más famoso de ellos es el método de agotamiento de Arquímedes , uno de los primeros usos del concepto matemático de límite , así como el origen del axioma de Arquímedes, que sigue siendo parte del tratamiento analítico estándar del sistema de números reales . La prueba original de Arquímedes no es rigurosa para los estándares modernos, porque supone que podemos comparar la longitud del arco de un círculo con la longitud de una secante y una recta tangente, y afirmaciones similares sobre el área, como geométricamente evidentes.

Usando polígonos

El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicado por la apotema . A medida que aumenta el número de lados del polígono regular, el polígono tiende a un círculo y la apotema tiende al radio. Esto sugiere que el área de un disco es la mitad de la circunferencia de su círculo delimitador multiplicado por el radio.

La prueba de Arquímedes

Siguiendo el argumento de Arquímedes en La medida de un círculo (c. 260 a. C.), compare el área encerrada por un círculo con un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo. Si el área del círculo no es igual a la del triángulo, entonces debe ser mayor o menor. Eliminamos cada uno de ellos por contradicción, dejando la igualdad como única posibilidad. Usamos polígonos regulares de la misma manera.

No mayor

Círculo con un cuadrado y un octágono inscritos, que muestra el espacio del área

Suponga que el área C encerrada por el círculo es mayor que el área T  = 12 cr del triángulo. Sea E la cantidad en exceso. Inscribe un cuadrado en el círculo, de modo que sus cuatro esquinas estén sobre el círculo. Entre el cuadrado y el círculo hay cuatro segmentos. Si el área total de esos espacios, G 4 , es mayor que E , divida cada arco por la mitad. Esto convierte el cuadrado inscrito en un octágono inscrito y produce ocho segmentos con un espacio total más pequeño, G 8 . Continuar la división hasta que el área total de brecha, G n , es menor que E . Ahora el área del polígono inscrito, P n  = C  -  G n , debe ser mayor que la del triángulo.

Pero esto fuerza una contradicción, como sigue. Dibuja una perpendicular desde el centro hasta el punto medio de un lado del polígono; su longitud, h , es menor que el radio del círculo. Además, deje que cada lado del polígono tenga una longitud s ; entonces la suma de los lados, ns , es menor que la circunferencia del círculo. El área del polígono consta de n triángulos iguales con altura hy base s , por lo que es igual a 12 nhs . Pero como h  <  r y ns  <  c , el área del polígono debe ser menor que el área del triángulo, 12 cr , una contradicción. Por lo tanto, nuestra suposición de que C podría ser mayor que T debe ser incorrecta.

No menos

Círculo con cuadrado y octágono circunscrito, que muestra el espacio del área

Suponga que el área encerrada por el círculo es menor que el área T del triángulo. Sea D el monto del déficit. Circunscribe un cuadrado, de modo que el punto medio de cada borde se encuentre en el círculo. Si la separación de superficie total entre el cuadrado y el círculo, G 4 , es mayor que D , corte las esquinas con tangentes círculo para hacer un octágono circunscrita, y continuar el corte en lonchas hasta la zona de discontinuidad es menor que D . El área del polígono, P n , debe ser menor que T .

Esto también fuerza una contradicción. Porque, una perpendicular al punto medio de cada lado del polígono es un radio de longitud r . Y puesto que la longitud del lado total es mayor que la circunferencia, el polígono se compone de n triángulos idénticos con mayor área total de T . Nuevamente tenemos una contradicción, por lo que nuestra suposición de que C podría ser menor que T también debe ser incorrecta.

Por lo tanto, debe darse el caso de que el área encerrada por el círculo sea exactamente la misma que el área del triángulo. Con esto concluye la prueba.

Prueba de reordenamiento

Área del círculo por reordenamiento
Gráficos de lado ,  s ; apotema ,  a ; y área ,  A de polígonos regulares de n lados y circunradio 1, con la base ,  b de un rectángulo con la misma área . La línea verde muestra el caso n = 6 .

Siguiendo a Satō Moshun ( Smith & Mikami 1914 , pp. 130-132) y Leonardo da Vinci ( Beckmann 1976 , p. 19), podemos usar polígonos regulares inscritos de una manera diferente. Supongamos que inscribimos un hexágono . Corta el hexágono en seis triángulos dividiéndolo desde el centro. Dos triángulos opuestos tocan dos diámetros comunes; deslícelos a lo largo de uno de modo que los bordes radiales queden adyacentes. Ahora forman un paralelogramo , con los lados del hexágono formando dos bordes opuestos, uno de los cuales es la base, s . Dos bordes radiales forman lados inclinados, y la altura, h es igual a su apotema (como en la prueba de Arquímedes). De hecho, también podemos ensamblar todos los triángulos en un gran paralelogramo colocando pares sucesivos uno al lado del otro. Lo mismo es cierto si lo aumentamos a ocho lados y así sucesivamente. Para un polígono con 2 n lados, el paralelogramo tendrá una base de longitud ns y una altura h . A medida que aumenta el número de lados, la longitud de la base del paralelogramo se acerca a la mitad de la circunferencia del círculo y su altura se acerca al radio del círculo. En el límite, el paralelogramo se convierte en un rectángulo de ancho π r y alto r .

Unidad de área del disco reordenando n polígonos.
polígono paralelogramo
norte lado base altura zona
4 1.4142136 2.8284271 0,7071068 2.0000000
6 1.0000000 3.0000000 0.8660254 2.5980762
8 0,7653669 3.0614675 0.9238795 2.8284271
10 0,6180340 3.0901699 0,9510565 2.9389263
12 0.5176381 3.1058285 0,9659258 3.0000000
14 0.4450419 3.1152931 0,9749279 3.0371862
dieciséis 0.3901806 3.1214452 0.9807853 3.0614675
96 0.0654382 3.1410320 0,9994646 3.1393502
1 / ∞ π 1 π

Pruebas modernas

Hay varias definiciones equivalentes de la constante π. La definición convencional en geometría previa al cálculo es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro:

Sin embargo, debido a que la circunferencia de un círculo no es un concepto analítico primitivo, esta definición no es adecuada en los tratamientos rigurosos modernos. Una definición moderna estándar es que π es igual al doble de la raíz menos positiva de la función coseno o, de manera equivalente, el medio período de la función seno (o coseno). La función coseno se puede definir como una serie de potencias o como la solución de una determinada ecuación diferencial . Esto evita cualquier referencia a círculos en la definición de π , de modo que los enunciados sobre la relación de π con la circunferencia y el área de los círculos son en realidad teoremas, en lugar de definiciones, que se derivan de las definiciones analíticas de conceptos como "área" y "circunferencia". ".

Las definiciones analíticas se consideran equivalentes, si se acuerda que la circunferencia del círculo se mide como una curva rectificable mediante la integral

La integral que aparece a la derecha es una integral abeliana cuyo valor es un medio período de la función seno , igual a π . Por lo tanto, se considera cierto como teorema.

Varios de los argumentos que siguen usan solo conceptos del cálculo elemental para reproducir la fórmula , pero en muchos casos para considerarlos como pruebas reales, se basan implícitamente en el hecho de que se pueden desarrollar funciones trigonométricas y la constante fundamental π de una manera que es totalmente independientes de su relación con la geometría. Hemos indicado, cuando es apropiado, cómo cada una de estas demostraciones puede hacerse totalmente independiente de toda la trigonometría, pero en algunos casos eso requiere ideas matemáticas más sofisticadas que las proporcionadas por el cálculo elemental.

Prueba de cebolla

Área del disco mediante integración de anillo

Usando el cálculo, podemos sumar el área de forma incremental, dividiendo el disco en anillos concéntricos delgados como las capas de una cebolla . Este es el método de integración de caparazón en dos dimensiones. Para un anillo infinitesimalmente delgado de la "cebolla" de radio t , el área acumulada es 2 π t dt , la longitud circunferencial del anillo multiplicada por su ancho infinitesimal (uno puede aproximar este anillo por un rectángulo con ancho = 2 π t y altura = dt ). Esto da una integral elemental para un disco de radio r .

Está rigurosamente justificado por la regla de sustitución multivariante en coordenadas polares. Es decir, el área está dada por una integral doble de la función constante 1 sobre el disco mismo. Si D denota el disco, entonces la integral doble se puede calcular en coordenadas polares de la siguiente manera:

que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

Una justificación rigurosa equivalente, sin depender de las coordenadas especiales de la trigonometría, usa la fórmula de coarea . Defina una función por . Tenga en cuenta que ρ es una función de Lipschitz cuyo gradiente es un vector unitario ( casi en todas partes ). Deje que D sea el disco en . Demostraremos que , ¿dónde está la medida bidimensional de Lebesgue en ? Supondremos que la medida unidimensional de Hausdorff del círculo es la circunferencia del círculo de radio r . (Esto se puede tomar como la definición de circunferencia). Entonces, por la fórmula de coarea,

Prueba de triángulo

Círculo desenvuelto para formar un triángulo
El círculo y el triángulo son iguales en área.

De manera similar a la prueba de cebolla descrita anteriormente, podríamos explotar el cálculo de una manera diferente para llegar a la fórmula para el área de un disco. Considere desenvolver los círculos concéntricos en tiras rectas. Esto formará un triángulo rectángulo con r como su altura y 2 π r (siendo la rodaja exterior de cebolla) como su base.

Encontrar el área de este triángulo dará el área del disco

Los ángulos opuesto y adyacente de este triángulo están respectivamente en grados 9.0430611 ..., 80.956939 ... y en radianes 0.1578311 ... OEISA233527 , 1.4129651 ... OEISA233528 .

Explícitamente, imaginamos dividir un círculo en triángulos, cada uno con una altura igual al radio del círculo y una base infinitesimalmente pequeña. El área de cada uno de estos triángulos es igual a . Al sumar (integrar) todas las áreas de estos triángulos, llegamos a la fórmula para el área del círculo:

También se puede justificar mediante una integral doble de la función constante 1 sobre el disco invirtiendo el orden de integración y usando un cambio de variables en la integral iterada anterior:

Hacer la sustitución convierte la integral en

que es el mismo que el resultado anterior.

La prueba del triángulo se puede reformular como una aplicación del teorema de Green en forma de flujo-divergencia (es decir, una versión bidimensional del teorema de divergencia ), de manera que se evite toda mención de la trigonometría y la constante π . Considere el campo vectorial en el plano. Entonces la divergencia de r es igual a dos, y por lo tanto el área de un disco D es igual a

Según el teorema de Green, esto es lo mismo que el flujo hacia afuera de r a través del círculo que limita D :

donde n es la unidad normal y ds es la medida de la longitud del arco. Para un círculo de radio R centrado en el origen, tenemos y , por lo que la igualdad anterior es

La integral de ds sobre todo el círculo es solo la longitud del arco, que es su circunferencia, por lo que esto muestra que el área A encerrada por el círculo es igual a multiplicada por la circunferencia del círculo.

Otra prueba que usa triángulos considera que el área encerrada por un círculo está formada por un número infinito de triángulos (es decir, cada uno de los triángulos tiene un ángulo de d𝜃 en el centro del círculo), cada uno con un área de1/2· R 2 · d𝜃 (derivado de la expresión para el área de un triángulo:1/2 · A · b · sin𝜃 = 1/2 · R · r · sen (d𝜃) = 1/2· R 2 · d𝜃 ). Tenga en cuenta que sin (d𝜃)d𝜃 debido a la aproximación de ángulos pequeños . Por lo tanto, sumando las áreas de los triángulos, se puede encontrar la expresión para el área del círculo:

Prueba de semicírculo

Tenga en cuenta que el área de un semicírculo de radio r se puede calcular mediante la integral .

Un semicírculo de radio r

Por sustitución trigonométrica , sustituimos , por lo tanto

El último paso sigue ya que la identidad trigonométrica implica que y tienen integrales iguales en el intervalo , usando integración por sustitución . Pero, por otro lado, dado que la suma de las dos integrales es la longitud de ese intervalo, que es . En consecuencia, la integral de es igual a la mitad de la longitud de ese intervalo, que es .

Por lo tanto, el área de un círculo de radio r , que es el doble del área del semicírculo, es igual a .

Esta prueba en particular puede parecer que plantea la cuestión de si las funciones seno y coseno involucradas en la sustitución trigonométrica se consideran definidas en relación con los círculos. Sin embargo, como se señaló anteriormente, es posible definir seno, coseno y π de una manera totalmente independiente de la trigonometría, en cuyo caso la demostración es válida por la fórmula del cambio de variables y el teorema de Fubini , asumiendo las propiedades básicas del seno. y coseno (que también se puede probar sin asumir nada sobre su relación con los círculos).

Desigualdad isoperimétrica

El círculo es la curva cerrada de perímetro mínimo que encierra el área máxima. Esto se conoce como desigualdad isoperimétrica , que establece que si una curva de Jordan rectificable en el plano euclidiano tiene un perímetro C y encierra un área A (según el teorema de la curva de Jordan ), entonces

Además, la igualdad se mantiene en esta desigualdad si y solo si la curva es un círculo, en cuyo caso y .

Aproximación rápida

Los cálculos que utilizó Arquímedes para aproximar el área numéricamente fueron laboriosos y se detuvo con un polígono de 96 lados. Un método más rápido utiliza las ideas de Willebrord Snell ( Cyclometricus , 1621), más desarrolladas por Christiaan Huygens ( De Circuli Magnitudine Inventa , 1654), descritas en Gerretsen y Verdenduin (1983 , págs. 243-250).

El método de duplicación de Arquímedes

Dado un círculo, sea u n el perímetro de un n- gon regular inscrito y sea U n el perímetro de un n- gon regular circunscrito . Entonces u n y U n son los límites superior e inferior de la circunferencia del círculo que se vuelven más y más nítidos a medida que n aumenta, y su promedio ( u n + U n ) / 2 es una aproximación especialmente buena a la circunferencia. Para calcular u n y U n para n grande , Arquímedes derivó las siguientes fórmulas de duplicación:

  ( media geométrica ), y
   ( media armónica ).

A partir de un hexágono, Arquímedes duplicó n cuatro veces para obtener un gon de 96, lo que le dio una buena aproximación a la circunferencia del círculo.

En notación moderna, podemos reproducir su cálculo (e ir más allá) de la siguiente manera. Para un círculo unitario, un hexágono inscrito tiene u 6  = 6 y un hexágono circunscrito tiene U 6  = 4 3 . Duplicar siete veces los rendimientos

Arquímedes doblando siete veces; n = 6 × 2 k .
k norte u n U n u n  +  U n/4
0 6 6.0000000 6,9282032 3.2320508
1 12 6.2116571 6.4307806 3.1606094
2 24 6.2652572 6.3193199 3.1461443
3 48 6.2787004 6.2921724 3.1427182
4 96 6.2820639 6.2854292 3.1418733
5 192 6.2829049 6.2837461 3.1416628
6 384 6.2831152 6.2833255 3.1416102
7 768 6.2831678 6.2832204 3.1415970

(Aquí u n + U n/2aproxima la circunferencia del círculo unitario, que es 2 π , por lo queu n + U n/4se aproxima a π .)

La última entrada de la tabla tiene 355113 como una de sus mejores aproximaciones racionales ; es decir, no hay mejor aproximación entre números racionales con denominador hasta 113. El número 355113 también es una excelente aproximación a π , mejor que cualquier otro número racional con denominador menor que 16604.

El refinamiento de Snell-Huygens

Snell propuso (y Huygens demostró) un límite más estricto que el de Arquímedes:

Esto para n = 48 da una mejor aproximación (alrededor de 3,14159292) que el método de Arquímedes para n = 768.

Derivación de las fórmulas de duplicación de Arquímedes

Círculo con triángulos semejantes: lado circunscrito, lado inscrito y complemento, lado dividido inscrito y complemento

Supongamos que un lado de un n- gon regular inscrito tiene una longitud s n y toca el círculo en los puntos A y B. Sea A ′ el punto opuesto a A en el círculo, de modo que A′A es un diámetro y A′AB es un triángulo inscrito en un diámetro. Según el teorema de Tales , este es un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Sea la longitud de A′B c n , que llamamos el complemento de s n ; por tanto, c n 2 + s n 2  = (2 r ) 2 . Sea C bisecar el arco de A a B, y sea C ′ el punto opuesto a C en el círculo. Por tanto, la longitud de CA es s 2 n , la longitud de C′A es c 2 n , y C′CA es en sí mismo un triángulo rectángulo de diámetro C′C. Debido a que C biseca el arco de A a B, C′C biseca perpendicularmente la cuerda de A a B, digamos en P. El triángulo C′AP es, por tanto, un triángulo rectángulo, y es similar a C′CA ya que comparten el ángulo en C ′. Así, los tres lados correspondientes están en la misma proporción; en particular, tenemos C′A: C′C = C′P: C′A y AP: C′A = CA: C′C. El centro del círculo, O, biseca A′A, por lo que también tenemos un triángulo OAP similar a A′AB, con OP la mitad de la longitud de A′B. En términos de longitudes de los lados, esto nos da

En la primera ecuación C′P es C′O + OP, la longitud r + 12 c n , y C′C es el diámetro, 2 r . Para un círculo unitario tenemos la famosa ecuación de duplicación de Ludolph van Ceulen ,

Si ahora circunscribimos un ngon regular, con el lado A ″ B ″ paralelo a AB, entonces OAB y OA ″ B ″ son triángulos similares, con A ″ B ″: AB = OC: OP. Llame al lado circunscrito S n ; entonces esto es S n  :  s n  = 1:  12 c n . (Hemos usado nuevamente que OP es la mitad de la longitud de A′B.) Así obtenemos

Llame al perímetro inscrito u n  = ns n y al perímetro circunscrito U n  = nS n . Luego, combinando ecuaciones, tenemos

así que eso

Esto da una ecuación de media geométrica .

También podemos deducir

o

Esto da una ecuación de media armónica .

Aproximación de dardo

Integración de Monte Carlo del área del círculo unitario. La estimación de estas 900 muestras es 4 ×709/900 = 3,15111 ...

Cuando no se dispone de métodos más eficientes para encontrar áreas, podemos recurrir a "lanzar dardos". Este método de Monte Carlo utiliza el hecho de que si se toman muestras aleatorias distribuidas uniformemente por la superficie de un cuadrado en el que reside un disco, la proporción de muestras que golpean el disco se aproxima a la relación entre el área del disco y el área del cuadrado. . Esto debe considerarse un método de último recurso para calcular el área de un disco (o cualquier forma), ya que requiere una enorme cantidad de muestras para obtener una precisión útil; una estimación buena a 10 - n requiere alrededor de 100 n muestras aleatorias ( Thijssen 2006 , p. 273).

Reordenamiento finito

Hemos visto que dividiendo el disco en un número infinito de piezas podemos volver a ensamblar las piezas en un rectángulo. Un hecho notable descubierto hace relativamente poco tiempo ( Laczkovich 1990 ) es que podemos diseccionar el disco en un número grande pero finito de piezas y luego volver a montar las piezas en un cuadrado de igual área. Esto se llama problema de cuadratura de círculos de Tarski . La naturaleza de la prueba de Laczkovich es tal que prueba la existencia de tal partición (de hecho, de muchas de esas particiones) pero no exhibe ninguna partición en particular.

Círculos no euclidianos

Los círculos se pueden definir en geometría no euclidiana y, en particular, en los planos hiperbólico y elíptico .

Por ejemplo, la esfera unitaria es un modelo para el plano elíptico bidimensional. Lleva una métrica intrínseca que surge al medir la longitud geodésica . Los círculos geodésicos son los paralelos en un sistema de coordenadas geodésicas .

Más precisamente, fijemos un punto que colocamos en el cenit. Asociado a que cenit es un sistema polar de coordenadas geodésico , , , donde z es el punto . En estas coordenadas, la distancia geodésica de z a cualquier otro punto que tenga coordenadas es el valor de en x . Un círculo esférico es el conjunto de puntos a una distancia geodésica R desde el punto zenit z . De manera equivalente, con una incrustación fija en , el círculo esférico de radio centrado en z es el conjunto de x en tal que .

También podemos medir el área del disco esférico encerrado dentro de un círculo esférico, usando la medida del área de superficie intrínseca en la esfera. El área del disco de radio R viene dada por

De manera más general, si una esfera tiene radio de curvatura , entonces el área del disco de radio R viene dada por

Observe que, como aplicación de la regla de L'Hôpital , esta tiende al área euclidiana en el límite plano .

El caso hiperbólico es similar, con el área de un disco de radio intrínseco R en el plano hiperbólico (curvatura constante ) dada por

donde cosh es el coseno hiperbólico . De manera más general, para el plano hiperbólico de curvatura constante , la respuesta es

Estas identidades son importantes para comparar desigualdades en geometría. Por ejemplo, el área encerrada por un círculo de radio R en un espacio plano es siempre mayor que el área de un círculo esférico y más pequeña que un círculo hiperbólico, siempre que los tres círculos tengan el mismo radio (intrínseco). Es decir,

para todos . Intuitivamente, esto se debe a que la esfera tiende a curvarse sobre sí misma, produciendo círculos de área más pequeña que los del plano, mientras que el plano hiperbólico, cuando se sumerge en el espacio, desarrolla franjas que producen un área adicional. Es más generalmente cierto que el área del círculo de un radio fijo R es una función estrictamente decreciente de la curvatura.

En todos los casos, si es la curvatura (constante, positiva o negativa), entonces la desigualdad isoperimétrica para un dominio con área A y perímetro L es

donde la igualdad se logra precisamente para el círculo.

Generalizaciones

Podemos estirar un disco para formar una elipse . Debido a que este tramo es una transformación lineal del plano, tiene un factor de distorsión que cambiará el área pero preservará las proporciones de las áreas. Esta observación se puede utilizar para calcular el área de una elipse arbitraria a partir del área de un círculo unitario.

Considere el círculo unitario circunscrito por un cuadrado de longitud lateral 2. La transformación envía el círculo a una elipse al estirar o contraer los diámetros horizontal y vertical a los ejes mayor y menor de la elipse. El cuadrado se envía a un rectángulo que circunscribe la elipse. La relación entre el área del círculo y el cuadrado es π / 4, lo que significa que la relación entre la elipse y el rectángulo también es π / 4. Supongamos que un y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Dado que el área del rectángulo es ab , el área de la elipse es π ab / 4.

También podemos considerar medidas análogas en dimensiones superiores. Por ejemplo, es posible que deseemos encontrar el volumen dentro de una esfera. Cuando tenemos una fórmula para el área de la superficie, podemos usar el mismo tipo de enfoque de "cebolla" que usamos para el disco.

Bibliografía

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    (Publicado originalmente por Cambridge University Press , 1897, basado en la versión griega de JL Heiberg).
  • Beckmann, Petr (1976), Una historia de Pi , St. Martin's Griffin , ISBN 978-0-312-38185-1
  • Gerretsen, J .; Verdenduin, P. (1983), "Capítulo 8: Polígonos y poliedros", en H. Behnke; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle (eds.), Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry , traducido por SH Gould, MIT Press , págs. 243–250, ISBN 978-0-262-52094-2
    (Originalmente Grundzüge der Mathematik , Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1971.)
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  • Smith, David Eugene ; Mikami, Yoshio (1914), Una historia de las matemáticas japonesas , Chicago: Open Court Publishing , págs. 130-132, ISBN 978-0-87548-170-8
  • Thijssen, JM (2006), Física Computacional , Cambridge University Press, p. 273, ISBN 978-0-521-57588-1

Referencias

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  4. ^ ¡ No todas las mejores aproximaciones racionales son convergentes de la fracción continua!
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enlaces externos