Principio de Arquimedes - Archimedes' principle

El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación hacia arriba que se ejerce sobre un cuerpo sumergido en un líquido , ya sea total o parcialmente, es igual al peso del líquido que el cuerpo desplaza . El principio de Arquímedes es una ley de la física fundamental para la mecánica de fluidos . Fue formulado por Arquímedes de Siracusa .

Explicación

El peso de un barco flotante F p y su flotabilidad F a (F b en el texto) deben tener el mismo tamaño.

En Sobre los cuerpos flotantes , Arquímedes sugirió que (c. 246 a. C.):

Cualquier objeto, total o parcialmente sumergido en un fluido o líquido, es impulsado por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

El principio de Arquímedes permite calcular la flotabilidad de cualquier objeto flotante sumergido parcial o totalmente en un fluido. La fuerza hacia abajo sobre el objeto es simplemente su peso. La fuerza ascendente, o flotante, sobre el objeto es la establecida por el principio de Arquímedes, arriba. Por tanto, la fuerza neta sobre el objeto es la diferencia entre las magnitudes de la fuerza de flotación y su peso. Si esta fuerza neta es positiva, el objeto se eleva; si es negativo, el objeto se hunde; y si es cero, el objeto tiene flotabilidad neutra, es decir, permanece en su lugar sin levantarse ni hundirse. En palabras simples, el principio de Arquímedes establece que, cuando un cuerpo está parcial o completamente sumergido en un líquido, experimenta una pérdida aparente de peso que es igual al peso del líquido desplazado por la parte sumergida del cuerpo (s).

Fórmula

Considere un cuboide sumergido en un fluido, sus caras superior e inferior son ortogonales a la dirección de la gravedad (se asume constante a lo largo del tramo del cubo). El fluido ejercerá una fuerza normal en cada cara, pero solo las fuerzas normales en la parte superior e inferior contribuirán a la flotabilidad. La diferencia de presión entre la cara inferior y la superior es directamente proporcional a la altura (diferencia de profundidad de inmersión). Al multiplicar la diferencia de presión por el área de una cara se obtiene una fuerza neta sobre el cuboide ⁠ ⁠ — la flotabilidad ⁠ ⁠ — igual en tamaño al peso del fluido desplazado por el paralelepípedo. Sumando un número suficiente de cuboides arbitrariamente pequeños, este razonamiento puede extenderse a formas irregulares, por lo que, cualquiera que sea la forma del cuerpo sumergido, la fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado.

El peso del fluido desplazado es directamente proporcional al volumen del fluido desplazado (si el fluido circundante es de densidad uniforme). El peso del objeto en el fluido se reduce debido a la fuerza que actúa sobre él, que se denomina empuje hacia arriba. En términos simples, el principio establece que la fuerza de flotación (F b ) sobre un objeto es igual al peso del fluido desplazado por el objeto, o la densidad ( ρ ) del fluido multiplicada por el volumen sumergido (V) por el gravedad (g)

Podemos expresar esta relación en la ecuación:

donde denota la fuerza de flotación aplicada sobre el objeto sumergido, denota la densidad del fluido, representa el volumen del fluido desplazado y es la aceleración debida a la gravedad . Así, entre los objetos completamente sumergidos de igual masa, los objetos de mayor volumen tienen mayor flotabilidad.

Suponga que el peso de una roca se mide como 10 newtons cuando está suspendida por una cuerda en el vacío con la gravedad actuando sobre ella. Suponga que, cuando la roca se sumerge en el agua, desplaza agua con un peso de 3 newtons. La fuerza que ejerce sobre la cuerda de la que cuelga sería de 10 newton menos los 3 newton de la fuerza de flotación: 10 - 3 = 7 newton. La flotabilidad reduce el peso aparente de los objetos que se han hundido completamente en el fondo del mar. Generalmente es más fácil levantar un objeto a través del agua que sacarlo del agua.

Para un objeto completamente sumergido, el principio de Arquímedes se puede reformular de la siguiente manera:

luego insertado en el cociente de pesos, que ha sido ampliado por el volumen mutuo

produce la siguiente fórmula. La densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin medir ningún volumen.

(Esta fórmula se utiliza, por ejemplo, para describir el principio de medición de un dasímetro y del pesaje hidrostático ).

Ejemplo: si arroja madera al agua, la flotabilidad la mantendrá a flote.

Ejemplo: un globo de helio en un automóvil en movimiento. Al aumentar la velocidad o conducir en una curva, el aire se mueve en la dirección opuesta a la aceleración del automóvil. Sin embargo, debido a la flotabilidad, el globo es empujado "fuera del camino" por el aire y se desplazará en la misma dirección que la aceleración del automóvil.

Cuando un objeto se sumerge en un líquido, el líquido ejerce una fuerza ascendente, conocida como fuerza de flotación, que es proporcional al peso del líquido desplazado. La suma de la fuerza que actúa sobre el objeto, entonces, es igual a la diferencia entre el peso del objeto (fuerza 'hacia abajo') y el peso del líquido desplazado (fuerza 'hacia arriba'). El equilibrio, o flotabilidad neutra, se logra cuando estos dos pesos (y por lo tanto las fuerzas) son iguales.

Fuerzas y equilibrio

La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:

donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido, y σ es el tensor de tensión de Cauchy . En este caso, el tensor de tensión es proporcional al tensor de identidad:

Aquí δ ij es el delta de Kronecker . Usando esto, la ecuación anterior se convierte en:

Suponiendo que el campo de fuerza exterior es conservador, es decir, se puede escribir como el gradiente negativo de alguna función con valores escalares:

Luego:

Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservador exterior aplicado. Deje que el eje z apunte hacia abajo. En este caso, el campo es la gravedad, entonces Φ = - ρ f gz donde g es la aceleración gravitacional, ρ f es la densidad de masa del fluido. Tomando la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es

Entonces, la presión aumenta con la profundidad debajo de la superficie de un líquido, ya que z denota la distancia desde la superficie del líquido hacia el interior. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá diferentes presiones en su parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión provoca la fuerza de flotación ascendente.

La fuerza de flotabilidad ejercida sobre un cuerpo ahora se puede calcular fácilmente, ya que se conoce la presión interna del fluido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo se puede calcular integrando el tensor de tensión sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido:

La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss :

donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir, el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza sobre la parte del cuerpo que está fuera de él.

La magnitud de la fuerza de flotabilidad se puede apreciar un poco más a partir del siguiente argumento. Considere cualquier objeto de forma y volumen arbitrarios V rodeado por un líquido. La fuerza que el líquido ejerce sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en una dirección opuesta a la fuerza gravitacional, que es de magnitud:

donde ρ f es la densidad del fluido, V disp es el volumen del cuerpo de líquido desplazado y g es la aceleración gravitacional en la ubicación en cuestión.

Si este volumen de líquido es reemplazado por un cuerpo sólido de exactamente la misma forma, la fuerza que ejerce el líquido sobre él debe ser exactamente la misma que la anterior. En otras palabras, la "fuerza de flotabilidad" en un cuerpo sumergido se dirige en la dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a

La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero si se trata de una situación de estática de fluidos en la que el principio de Arquímedes es aplicable y, por lo tanto, es la suma de la fuerza de flotabilidad y el peso del objeto.

Si la flotabilidad de un objeto (desenfrenado y sin motor) excede su peso, tiende a elevarse. Un objeto cuyo peso excede su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza ascendente sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no puede realizarse únicamente con el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica de un objeto que implica flotabilidad. Una vez que se hunde completamente hasta el piso del fluido o sube a la superficie y se asienta, el principio de Arquímedes se puede aplicar solo. Para un objeto flotante, solo el volumen sumergido desplaza el agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza el agua y habrá una fuerza adicional de reacción del piso sólido.

Para que el principio de Arquímedes se utilice solo, el objeto en cuestión debe estar en equilibrio (la suma de las fuerzas sobre el objeto debe ser cero), por lo tanto;

y por lo tanto

mostrando que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante y el volumen de fluido que desplazará es independiente del campo gravitacional independientemente de la ubicación geográfica.

( Nota: si el fluido en cuestión es agua de mar , no tendrá la misma densidad ( ρ ) en todos los lugares. Por esta razón, un barco puede mostrar una línea Plimsoll ).

Puede darse el caso de que entren en juego otras fuerzas además de la flotabilidad y la gravedad. Este es el caso si el objeto está restringido o si el objeto se hunde hasta el piso sólido. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de restricción de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse eventualmente tendrá una fuerza normal de restricción N ejercida sobre él por el piso sólido. La fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y es cómo se define el peso aparente.

Si el objeto flotara de otra manera, la tensión para sujetarlo completamente sumergido es:

Cuando un objeto que se hunde se asienta sobre el suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:

Otra posible fórmula para calcular la flotabilidad de un objeto es hallar el peso aparente de ese objeto en particular en el aire (calculado en Newtons) y el peso aparente de ese objeto en el agua (en Newtons). Para encontrar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto cuando está en el aire, utilizando esta información en particular, se aplica esta fórmula:

Fuerza de flotabilidad = peso del objeto en el espacio vacío - peso del objeto sumergido en líquido

El resultado final se mediría en Newtons.

La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la mayoría de los sólidos y líquidos. Por esta razón, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se desprecia para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire porque el error suele ser insignificante (normalmente menos del 0,1%, excepto para objetos de densidad media muy baja, como un globo o espuma ligera).

Modelo simplificado

Distribución de presión en un cubo sumergido
Fuerzas sobre un cubo sumergido
Aproximación de un volumen arbitrario como un grupo de cubos

Una explicación simplificada de la integración de la presión sobre el área de contacto se puede establecer de la siguiente manera:

Considere un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior horizontal.

Los lados son idénticos en área y tienen la misma distribución de profundidad, por lo que también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicularmente al plano de la superficie de cada lado.

Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales y la fuerza resultante es cero.

La fuerza hacia arriba sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie del fondo horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie del fondo.

De manera similar, la fuerza hacia abajo sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.

Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual al peso de el fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.

Esto significa que la fuerza hacia arriba resultante sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabría en el volumen del cubo, y la fuerza hacia abajo sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.

Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.

Si dos cubos se colocan uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y fuerzas resultantes en los lados o partes de los mismos en contacto se equilibran y pueden ignorarse, ya que las superficies de contacto son iguales en forma, tamaño y distribución de presión. por lo tanto, la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotaciones de cada cubo. Esta analogía se puede extender a un número arbitrario de cubos.

Un objeto de cualquier forma se puede aproximar como un grupo de cubos en contacto entre sí y, a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.

Las superficies en ángulo no anulan la analogía, ya que la fuerza resultante se puede dividir en componentes ortogonales y cada uno se puede tratar de la misma manera.

Refinamientos

El principio de Arquímedes no considera la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo. Además, se ha descubierto que el principio de Arquímedes se descompone en fluidos complejos .

Hay una excepción al principio de Arquímedes conocida como caso inferior (o lateral). Esto ocurre cuando un lado del objeto toca el fondo (o el costado) del recipiente en el que está sumergido y no se filtra líquido por ese lado. En este caso, se ha descubierto que la fuerza neta es diferente del principio de Arquímedes, debido al hecho de que, dado que ningún fluido se filtra por ese lado, la simetría de la presión se rompe.

Principio de flotación

El principio de Arquímedes muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento del fluido. Sin embargo, el concepto del principio de Arquímedes se puede aplicar al considerar por qué flotan los objetos. La proposición 5 del tratado de Arquímedes sobre los cuerpos flotantes establece que

Cualquier objeto flotante desplaza su propio peso de fluido.

En otras palabras, para un objeto flotando sobre una superficie líquida (como un bote) o flotando sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire) el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por lo tanto, solo en el caso especial de flotación, la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del objeto. Considere un bloque de hierro sólido de 1 tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, desplaza solo 1/8 de tonelada de agua cuando se sumerge, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Suponga que el mismo bloque de hierro se transforma en un cuenco. Pesa todavía 1 tonelada, pero cuando se pone en agua desplaza un mayor volumen de agua que cuando era un bloque. Cuanto más profundamente se sumerge el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación sea igual a 1 tonelada, no se hundirá más.

Cuando un barco desplaza un peso de agua igual a su propio peso, flota. Esto a menudo se denomina "principio de flotación": un objeto flotante desplaza un peso de fluido igual a su propio peso. Todo barco, submarino y dirigible debe diseñarse para desplazar un peso de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10,000 toneladas debe construirse lo suficientemente ancho, lo suficientemente largo y lo suficientemente profundo como para desplazar 10,000 toneladas de agua y aún tener algo de casco sobre el agua para evitar que se hunda. Necesita un casco adicional para combatir las olas que de otro modo lo llenarían y, al aumentar su masa, harían que se sumergiera. Lo mismo ocurre con los barcos en el aire: un dirigible que pesa 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si desplaza más, sube; si se desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, se mantiene a una altitud constante.

Si bien están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes, como se dijo anteriormente, equipara la fuerza de flotación con el peso del fluido desplazado.

Un punto común de confusión con respecto al principio de Arquímedes es el significado de volumen desplazado. Las demostraciones comunes implican medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este método de medición falla con un objeto sumergido flotante porque el aumento en el nivel del agua está directamente relacionado con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido).

Eureka

Según los informes, Arquímedes exclamó "Eureka" después de darse cuenta de cómo detectar si una corona está hecha de oro impuro. Si bien no usó el principio de Arquímedes en el relato generalizado y solo usó agua desplazada para medir el volumen de la corona, existe un enfoque alternativo que usa el principio: equilibre la corona y el oro puro en una balanza en el aire y luego coloque el escala en agua. Según el principio de Arquímedes, si la densidad de la corona difiere de la densidad del oro puro, la escala se desequilibrará bajo el agua.

Referencias

enlaces externos