Espacio vectorial ordenado de Arquímedes - Archimedean ordered vector space

En matemáticas, específicamente en la teoría del orden , una relación binaria en un espacio vectorial sobre los números reales o complejos se llama Arquímedes si para todos, siempre que exista alguna tal que para todos los enteros positivos, entonces necesariamente Un espacio vectorial (pre) ordenado de Arquímedes es un ( espacio vectorial pre) ordenado cuyo orden es de Arquímedes. Un espacio vectorial pre- ordenado se llama casi Arquímedes si para todos siempre que exista tal que para todos los enteros positivos entonces${\ Displaystyle \, \ leq \,}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle y \ en X}$${\ Displaystyle nx \ leq y}$${\ Displaystyle n,}$${\ Displaystyle x \ leq 0.}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ in X,}$${\ Displaystyle y \ en X}$${\ Displaystyle -n ^ {- 1} y \ leq x \ leq n ^ {- 1} y}$${\ Displaystyle n,}$${\ Displaystyle x = 0.}$

Caracterizaciones

Un espacio vectorial pre- ordenado con una unidad de orden es preordenado de Arquímedes si y solo si para todos los enteros no negativos implica${\ Displaystyle (X, \ leq)}$ ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle nx \ leq u}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x \ leq 0.}$

Propiedades

Sea un espacio vectorial ordenado sobre los reales de dimensión finita. Entonces, el orden de es de Arquímedes si y solo si el cono positivo de está cerrado para la topología única bajo la cual se encuentra un TVS de Hausdorff. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Norma de unidad de pedido

Supongamos que es un espacio vectorial ordenado sobre los reales con una unidad de orden cuyo orden es Arquímedes y sea Entonces el funcional de Minkowski de (definido por ) es una norma llamada norma de unidad de orden . Satisface y la bola unitaria cerrada determinada por es igual a (es decir,${\ Displaystyle (X, \ leq)}$ ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle U = [- u, u].}$ ${\ Displaystyle p_ {U}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle p_ {U} (x): = \ inf \ left \ {r> 0: x \ in r [-u, u] \ right \}}$${\ Displaystyle p_ {U} (u) = 1}$${\ Displaystyle p_ {U}}$${\ Displaystyle [-u, u]}$${\ Displaystyle [-u, u] = \ {x \ in X: p_ {U} (x) \ leq 1 \}.}$

Ejemplos de

El espacio de mapas acotados de valor real en un conjunto con el orden puntual está ordenado por Arquímedes con una unidad de orden (es decir, la función que está idénticamente activada ). La norma de la unidad de pedido es idéntica a la norma sup habitual:${\ Displaystyle l _ {\ infty} (S, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u: = 1}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle l _ {\ infty} (S, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ | f \ |: = \ sup _ {} | f (S) |.}$

Ejemplos de

Cada orden de celosía vectorial completa está ordenada por Arquímedes. Un entramado vectorial de dimensión finita está ordenado por Arquímedes si y solo si es isomorfo con su orden canónico. Sin embargo, un orden de dimensión vectorial totalmente ordenado no puede ser ordenado por Arquímedes. Existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \,> 1}$

El espacio euclidiano sobre los reales con el orden lexicográfico no está ordenado por Arquímedes ya que para todos menos${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle r (0,1) \ leq (1,1)}$${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle (0,1) \ neq (0,0).}$

Ver también

• Propiedad de Arquímedes  - Ausencia de infinitesimales en un sistema matemático
• Espacio vectorial ordenado

Referencias

Bibliografía

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .