Propiedad de Arquímedes - Archimedean property

Ilustración de la propiedad de Arquímedes.

En álgebra abstracta y análisis , la propiedad de Arquímedes , que lleva el nombre del antiguo matemático griego Arquímedes de Siracusa , es una propiedad mantenida por algunas estructuras algebraicas , como grupos ordenados o normativos y campos . La propiedad, típicamente interpretarse, los estados que da dos números positivos x y y , no es un número entero n de manera que nx > y . También significa que el conjunto de números naturales no está acotado por encima. En términos generales, es la propiedad de no tener elementos infinitamente grandes o infinitamente pequeños . Fue Otto Stolz quien dio su nombre al axioma de Arquímedes porque aparece como Axioma V de Arquímedes ' Sobre la esfera y el cilindro .

La noción surgió de la teoría de magnitudes de la Antigua Grecia; aún desempeña un papel importante en las matemáticas modernas, tales como David Hilbert 's axiomas de la geometría , y las teorías de grupos ordenados , campos ordenados , y los campos locales .

Una estructura algebraica en la que dos elementos distintos de cero son comparables , en el sentido de que ninguno de ellos es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es Arquímedes . Una estructura que tiene un par de elementos distintos de cero, uno de los cuales es infinitesimal con respecto al otro, se dice que no es de Arquímedes . Por ejemplo, un grupo linealmente ordenado que es de Arquímedes es un grupo de Arquímedes .

Esto se puede precisar en varios contextos con formulaciones ligeramente diferentes. Por ejemplo, en el contexto de campos ordenados , se tiene el axioma de Arquímedes que formula esta propiedad, donde el campo de números reales es Arquímedes, pero el de funciones racionales en coeficientes reales no lo es.

Historia y origen del nombre de la propiedad de Arquímedes

El concepto fue nombrado por Otto Stolz (en la década de 1880) en honor al antiguo geómetro y físico griego Arquímedes de Siracusa .

La propiedad de Arquímedes aparece en el Libro V de los Elementos de Euclides como Definición 4:

Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí que, cuando se multiplica, puede superarse entre sí.

Debido a que Arquímedes se lo atribuyó a Eudoxo de Cnido , también se lo conoce como el "Teorema de Eudoxo" o el axioma de Eudoxo .

Arquímedes usó infinitesimales en argumentos heurísticos , aunque negó que fueran pruebas matemáticas terminadas .

Definición de grupos ordenados linealmente

Vamos x y y ser elementos positivos de un grupo ordenable G . Entonces x es infinitesimal con respecto ay (o de manera equivalente, y es infinito con respecto a x ) si, para cada número natural n , el múltiplo nx es menor que y , es decir, se cumple la siguiente desigualdad:

Esta definición se puede extender a todo el grupo tomando valores absolutos.

El grupo G es de Arquímedes si no hay un par ( x , y ) tal que x sea ​​infinitesimal con respecto ay .

Además, si K es una estructura algebraica con una unidad (1) - por ejemplo, un anillo - una definición similar se aplica a K . Si x es infinitesimal con respecto a 1, entonces x es un elemento infinitesimal . Asimismo, si y es infinito con respecto a 1, entonces y es un elemento infinito . La estructura algebraica K es de Arquímedes si no tiene elementos infinitos ni elementos infinitesimales.

Campos ordenados

Los campos ordenados tienen algunas propiedades adicionales:

  • Los números racionales están incrustados en cualquier campo ordenado. Es decir, cualquier campo ordenado tiene la característica cero.
  • Si x es infinitesimal, entonces 1 / x es infinito y viceversa. Por tanto, para verificar que un campo es de Arquímedes basta con comprobar solo que no hay elementos infinitesimales, o comprobar que no hay elementos infinitos.
  • Si x es infinitesimal y r es un número racional, entonces rx también es infinitesimal. Como resultado, dado un elemento general c , los tres números c / 2 , c , y 2 c son o bien todos infinitesimal o todos los no-infinitesimal.

En este contexto, un campo ordenado K es Arquímedes precisamente cuando se cumple la siguiente declaración, llamada axioma de Arquímedes :

"Sea x cualquier elemento de K. Entonces existe un número natural n tal que n > x ".

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente caracterización:

Definición de campos normativos

El calificativo "Arquímedes" también se formula en la teoría de los campos con valor de rango uno y los espacios normativos sobre los campos con valor de rango uno de la siguiente manera. Sea F un campo dotado de una función de valor absoluto, es decir, una función que asocia el número real 0 con el elemento de campo 0 y asocia un número real positivo con cada xF distinto de cero y satisface y . Entonces, se dice que F es Arquímedes si para cualquier xF distinto de cero existe un número natural n tal que

De manera similar, un espacio normado es de Arquímedes si una suma de n términos, cada uno igual a un vector x distinto de cero , tiene una norma mayor que uno para n suficientemente grande . Un campo con un valor absoluto o un espacio normado es de Arquímedes o satisface la condición más fuerte, conocida como la desigualdad del triángulo ultramétrico ,

respectivamente. Un campo o espacio normado que satisface la desigualdad del triángulo ultramétrico se llama no arquimediano .

El concepto de un espacio lineal normado no arquimediano fue introducido por AF Monna.

Ejemplos y no ejemplos

Propiedad de Arquímedes de los números reales

Al campo de los números racionales se le puede asignar una de varias funciones de valor absoluto, incluida la función trivial cuando x ≠ 0 , la más habitual , y las funciones de valor absoluto p -ádico . Según el teorema de Ostrowski , todo valor absoluto no trivial en los números racionales es equivalente al valor absoluto habitual o algún valor absoluto p -ádico. El campo racional no está completo con respecto a valores absolutos no triviales; con respecto al trivial valor absoluto, el campo racional es un espacio topológico discreto, tan completo. La finalización con respecto al valor absoluto habitual (del pedido) es el campo de los números reales. Según esta construcción, el campo de los números reales es de Arquímedes como campo ordenado y como campo normado. Por otro lado, las terminaciones con respecto a los otros valores absolutos no triviales dan los campos de p -números ádicos, donde p es un número entero primo (ver más abajo); dado que los valores absolutos p -ádicos satisfacen la propiedad ultramétrica , entonces los campos numéricos p -ádicos no son de Arquímedes como campos normativos (no se pueden convertir en campos ordenados).

En la teoría axiomática de los números reales , la no existencia de números reales infinitesimales distintos de cero está implícita en la propiedad del límite superior mínimo como sigue. Denote por Z el conjunto que consta de todos los infinitesimales positivos. Este conjunto está delimitado por encima de 1. Ahora suponga para una contradicción que Z no está vacío. Entonces tiene un límite superior mínimo c , que también es positivo, por lo que c / 2 < c <2 c . Dado que c es un límite superior de Z y 2 c es estrictamente mayor que c , 2 c no es un infinitesimal positivo. Es decir, hay algún número natural n para el cual 1 / n <2 c . Por otro lado, c / 2 es un infinitesimal positivo, ya que por la definición de extremo superior tiene que haber un infinitesimal x entre c / 2 y c , y si / 1 k < c / 2 ≤ x entonces x no es infinitesimal . Pero 1 / (4 n ) < c / 2 , entonces c / 2 no es infinitesimal, y esto es una contradicción. Esto significa que Z está vacío después de todo: no hay números reales infinitesimales positivos.

La propiedad de Arquímedes de los números reales también se mantiene en el análisis constructivo , aunque la propiedad del límite superior mínimo puede fallar en ese contexto.

Campo ordenado no arquimediano

Para un ejemplo de un campo ordenado que no es de Arquímedes, tome el campo de funciones racionales con coeficientes reales. (Una función racional es cualquier función que se puede expresar como un polinomio dividido por otro polinomio; asumiremos a continuación que esto se ha hecho de tal manera que el coeficiente principal del denominador es positivo). campo, se debe asignar un orden compatible con las operaciones de suma y multiplicación. Ahora f > g si y solo si f  -  g > 0, entonces solo tenemos que decir qué funciones racionales se consideran positivas. Llame a la función positiva si el coeficiente principal del numerador es positivo. (Hay que comprobar que este orden está bien definido y es compatible con la suma y la multiplicación). Según esta definición, la función racional 1 / x es positiva pero menor que la función racional 1. De hecho, si n es cualquier número natural, entonces n (1 / x ) = n / x es positivo pero aún menor que 1, sin importar cuán grande sea n . Por lo tanto, 1 / x es infinitesimal en este campo.

Este ejemplo se generaliza a otros coeficientes. Tomar funciones racionales con coeficientes racionales en lugar de reales produce un campo ordenado no arquimediano contable. Si se toman los coeficientes como funciones racionales en una variable diferente, digamos y , se obtiene un ejemplo con un tipo de orden diferente .

Campos no valorados por Arquímedes

El campo de los números racionales dotados de la métrica p-ádica y los campos numéricos p-ádicos que son las terminaciones, no tienen la propiedad de Arquímedes como campos con valores absolutos. Todos los campos con valores de Arquímedes son isométricamente isomórficos a un subcampo de los números complejos con una potencia del valor absoluto habitual.

Definiciones equivalentes de campo ordenado de Arquímedes

Cada campo ordenado linealmente K contiene (una copia isomórfica de) los racionales como un subcampo ordenado, es decir, el subcampo generado por la unidad multiplicativa 1 de K , que a su vez contiene los enteros como un subgrupo ordenado, que contiene los números naturales como un subgrupo ordenado. monoide . La incorporación de los racionales a continuación da una manera de hablar de los racionales, enteros y números naturales en K . Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de los campos de Arquímedes en términos de estas subestructuras.

  1. Los números naturales son cofinal en K . Es decir, cada elemento de K es menor que algún número natural. (Este no es el caso cuando existen elementos infinitos). Así, un campo de Arquímedes es aquel cuyos números naturales crecen sin límite.
  2. Cero es el mínimo en K del conjunto {1/2, 1/3, 1/4,…}. (Si K contuviera un infinitesimal positivo, sería un límite inferior para el conjunto, de donde cero no sería el límite inferior más grande).
  3. El conjunto de elementos de K entre los racionales positivo y negativo no es abierto. Esto se debe a que el conjunto consta de todos los infinitesimales, que es solo el conjunto {0} cuando no hay infinitesimales distintos de cero, y por lo demás está abierto, no habiendo ni un infinitesimal menor ni mayor distinto de cero. Observe que en ambos casos, el conjunto de infinitesimales está cerrado. En el último caso, (i) todo infinitesimal es menor que todo racional positivo, (ii) no hay ni un infinitesimal mayor ni un racional menos positivo, y (iii) no hay nada más en el medio. En consecuencia, cualquier campo ordenado que no sea de Arquímedes está incompleto y desconectado.
  4. Para cualquier x en K, el conjunto de enteros mayores que x tiene un elemento mínimo. (Si x fuera una cantidad infinita negativa, cada entero sería mayor que él).
  5. Cada intervalo abierto no vacío de K contiene un racional. (Si x es un infinitesimal positivo, el intervalo abierto ( x , 2 x ) contiene infinitesimales infinitesimales pero no un solo racional).
  6. Los racionales son densos en K con respecto tanto a sup como a inf. (Es decir, cada elemento de K es el sup de algún conjunto de racionales y el inf de algún otro conjunto de racionales.) Así, un campo de Arquímedes es cualquier extensión densa ordenada de los racionales, en el sentido de cualquier campo ordenado que densamente incrusta sus elementos racionales.

Ver también

Notas

Referencias