Conjunto amorfo - Amorphous set

En la teoría de conjuntos , un conjunto amorfo es un conjunto infinito que no es la unión disjunta de dos subconjuntos infinitos .

Existencia

Los conjuntos amorfos no pueden existir si se asume el axioma de elección . Fraenkel construyó un modelo de permutación de Zermelo-Fraenkel con átomos en el que el conjunto de átomos es un conjunto amorfo. Después del trabajo inicial de Cohen sobre forzamiento en 1963, se obtuvieron pruebas de la consistencia de conjuntos amorfos con Zermelo-Fraenkel .

Propiedades adicionales

Cada conjunto amorfo es finito de Dedekind , lo que significa que no tiene biyección a un subconjunto adecuado de sí mismo. Para ver esto, suponga que es un conjunto que tiene una biyección a un subconjunto adecuado. Para cada número natural, se define como el conjunto de elementos que pertenecen a la imagen de la composición -fold de f consigo mismo pero no a la imagen de la composición -fold. Entonces cada uno es no vacío, por lo que la unión de los conjuntos con índices pares sería un conjunto infinito cuyo complemento en también es infinito, mostrando que no puede ser amorfo. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto: es coherente que existan infinitos conjuntos de Dedekind-finitos que no son amorfos. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle i \ geq 0}$${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle (i + 1)}$${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {i}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$

Ningún conjunto amorfo puede ordenarse linealmente . Dado que la imagen de un conjunto amorfo es en sí misma amorfa o finita, se deduce que toda función, desde un conjunto amorfo hasta un conjunto ordenado linealmente, sólo tiene una imagen finita.

El filtro de cofinita en un conjunto amorfo es un ultrafiltro . Esto se debe a que el complemento de cada subconjunto infinito no debe ser infinito, por lo que cada subconjunto es finito o cofinito.

Variaciones

Si es una partición de un conjunto amorfo en subconjuntos finitos, entonces debe haber exactamente un entero tal que tenga infinitos subconjuntos de tamaño ; porque, si cada tamaño se usó finitamente muchas veces, o si se usó más de un tamaño infinitamente muchas veces, esta información podría usarse para hacer más gruesa la partición y dividirla en dos subconjuntos infinitos. Si un conjunto amorfo tiene la propiedad adicional de que, para cada partición , entonces se llama estrictamente amorfo o fuertemente amorfo , y si hay un límite superior finito, entonces el conjunto se llama amorfo limitado . Es consistente con ZF que los conjuntos amorfos existen y todos están limitados, o que existen y todos son ilimitados. ${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle n (\ Pi)}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle n (\ Pi) = 1}$${\ Displaystyle n (\ Pi)}$

Referencias