Invariante adiabático - Adiabatic invariant

Una propiedad de un sistema físico , como la entropía de un gas, que permanece aproximadamente constante cuando los cambios ocurren lentamente se llama invariante adiabático . Con esto se quiere decir que si un sistema varía entre dos puntos finales, cuando el tiempo para la variación entre los puntos finales aumenta hasta el infinito, la variación de un invariante adiabático entre los dos puntos finales llega a cero.

En termodinámica , un proceso adiabático es un cambio que ocurre sin flujo de calor; puede ser lento o rápido. Un proceso adiabático reversible es un proceso adiabático que ocurre lentamente en comparación con el tiempo para alcanzar el equilibrio. En un proceso adiabático reversible, el sistema está en equilibrio en todas las etapas y la entropía es constante. En la primera mitad del siglo XX, los científicos que trabajaban en física cuántica utilizaron el término "adiabático" para los procesos adiabáticos reversibles y más tarde para las condiciones que cambiaban gradualmente y que permitían al sistema adaptar su configuración. La definición de la mecánica cuántica está más cerca del concepto termodinámico de un proceso cuasiestático y no tiene relación directa con los procesos adiabáticos en termodinámica.

En mecánica , un cambio adiabático es una deformación lenta del hamiltoniano , donde la tasa fraccionaria de cambio de la energía es mucho más lenta que la frecuencia orbital. El área encerrada por los diferentes movimientos en el espacio de fase son los invariantes adiabáticos .

En mecánica cuántica , un cambio adiabático es aquel que ocurre a un ritmo mucho más lento que la diferencia de frecuencia entre estados propios de energía. En este caso, los estados de energía del sistema no hacen transiciones, por lo que el número cuántico es un invariante adiabático.

La antigua teoría cuántica se formuló equiparando el número cuántico de un sistema con su invariante adiabático clásico. Esto determinó la forma de la regla de cuantificación de Bohr-Sommerfeld : el número cuántico es el área en el espacio de fase de la órbita clásica.

Termodinámica

En termodinámica, los cambios adiabáticos son aquellos que no aumentan la entropía. Ocurren lentamente en comparación con las otras escalas de tiempo características del sistema de interés y permiten el flujo de calor solo entre objetos a la misma temperatura. Para sistemas aislados, un cambio adiabático no permite que el calor fluya hacia adentro o hacia afuera.

Expansión adiabática de un gas ideal

Si un recipiente con un gas ideal se expande instantáneamente, la temperatura del gas no cambia en absoluto, porque ninguna de las moléculas se ralentiza. Las moléculas mantienen su energía cinética, pero ahora el gas ocupa un volumen mayor. Sin embargo, si el recipiente se expande lentamente, de modo que la ley de presión del gas ideal se mantenga en cualquier momento, las moléculas de gas pierden energía a la velocidad con la que trabajan en la pared en expansión. La cantidad de trabajo que realizan es la presión multiplicada por el área de la pared multiplicada por el desplazamiento hacia afuera, que es la presión multiplicada por el cambio en el volumen del gas:

${\ Displaystyle dW = PdV = {Nk_ {B} T \ over V} dV}$

Si no entra calor en el gas, la energía en las moléculas del gas disminuye en la misma cantidad. Por definición, un gas es ideal cuando su temperatura es solo una función de la energía interna por partícula, no del volumen. Entonces

${\ Displaystyle dT = {1 \ over NC_ {v}} dE}$

Dónde está el calor específico a volumen constante. Cuando el cambio de energía se debe en su totalidad al trabajo realizado en la pared, el cambio de temperatura viene dado por: ${\ Displaystyle C_ {v}}$

${\ Displaystyle NC_ {v} dT = -dW = - {N {k_ {B}} T \ over V} dV}$

Esto da una relación diferencial entre los cambios de temperatura y volumen, que se puede integrar para encontrar la invariante. La constante es solo un factor de conversión de unidades , que se puede establecer en uno: ${\ Displaystyle k_ {B}}$

${\ Displaystyle \, d (C_ {v} N \ log T) = - d (N \ log V)}$

Entonces

${\ Displaystyle \, C_ {v} N \ log T + N \ log V}$

es un invariante adiabático, que está relacionado con la entropía

${\ Displaystyle \, S = C_ {v} N \ log T + N \ log VN \ log N = N \ log (T ^ {C_ {v}} V / N)}$

Entonces la entropía es una invariante adiabática. El término N  log ( N ) hace que la entropía sea aditiva, por lo que la entropía de dos volúmenes de gas es la suma de las entropías de cada uno.

En una interpretación molecular, S es el logaritmo del volumen de espacio de fase de todos los estados de gas con energía E ( T ) y el volumen V .

Para un gas ideal monoatómico, esto se puede ver fácilmente escribiendo la energía,

${\ Displaystyle E = {1 \ over 2m} \ sum _ {k} p_ {k1} ^ {2} + p_ {k2} ^ {2} + p_ {k3} ^ {2}}$

Los diferentes movimientos internos del gas con energía total E definen una esfera, la superficie de una bola de 3 N dimensiones con radio . El volumen de la esfera es ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$

${\ Displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} \ over {\ Gamma (3N / 2)}}$ ,

donde está la función Gamma . ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Dado que cada molécula de gas puede estar en cualquier lugar dentro del volumen V , el volumen en el espacio de fase ocupado por los estados del gas con energía E es

${\ Displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} V ^ {N} \ over {\ Gamma (3N / 2)}}$ .

Dado que las N moléculas de gas son indistinguibles, el volumen del espacio de fase se divide por el número de permutaciones de N moléculas. ${\ Displaystyle N! = \ Gamma (N + 1)}$

Usando la aproximación de Stirling para la función gamma e ignorando los factores que desaparecen en el logaritmo después de tomar N grande,

${\ Displaystyle S = N {\ big (} 3/2 \ log (E) -3/2 \ log (3N / 2) + \ log (V) - \ log (N) {\ big)}}$

${\ Displaystyle = N {\ big (} 3/2 \ log (\ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ displaystyle E / N) + \ log (V / N) {\ big)}}$

Dado que el calor específico de un gas monoatómico es 3/2, este es el mismo que la fórmula termodinámica para la entropía.

Ley de Wien: expansión adiabática de una caja de luz

Para una caja de radiación, ignorando la mecánica cuántica, la energía de un campo clásico en equilibrio térmico es infinita , ya que la equipartición exige que cada modo de campo tenga la misma energía en promedio y haya infinitos modos. Esto es físicamente ridículo, ya que significa que toda la energía se filtra en ondas electromagnéticas de alta frecuencia a lo largo del tiempo.

Aún así, sin la mecánica cuántica, hay algunas cosas que se pueden decir sobre la distribución de equilibrio de la termodinámica solo, porque todavía existe una noción de invariancia adiabática que relaciona cajas de diferentes tamaños.

Cuando una caja se expande lentamente, la frecuencia de la luz que retrocede desde la pared se puede calcular a partir del desplazamiento Doppler . Si la pared no se mueve, la luz retrocede con la misma frecuencia. Si la pared se mueve lentamente, la frecuencia de retroceso solo es igual en el marco donde la pared está estacionaria. En el marco donde la pared se aleja de la luz, la luz que entra es más azul que la luz que sale por el doble del factor de desplazamiento Doppler v / c .

${\ Displaystyle \ Delta f = {2v \ over c} f}$

Por otro lado, la energía de la luz también disminuye cuando la pared se aleja, porque la luz está trabajando en la pared por la presión de la radiación. Debido a que la luz se refleja, la presión es igual al doble del impulso transportado por la luz, que es E / c . La tasa a la que la presión actúa en la pared se calcula multiplicando por la velocidad:

${\ Displaystyle \, \ Delta E = v {2E \ over c}}$

Esto significa que el cambio de frecuencia de la luz es igual al trabajo realizado en la pared por la presión de radiación. La luz que se refleja cambia tanto en frecuencia como en energía en la misma cantidad:

${\ Displaystyle {\ Delta f \ over f} = {\ Delta E \ over E}}$

Dado que mover la pared lentamente debería mantener fija una distribución térmica, la probabilidad de que la luz tenga energía E a la frecuencia f debe ser solo una función de E / f .

Esta función no se puede determinar a partir del razonamiento termodinámico solo, y Wien adivinó la forma que era válida en alta frecuencia. Supuso que la energía promedio en los modos de alta frecuencia fue suprimida por un factor similar al de Boltzmann. Esta no es la energía clásica esperada en el modo, que es por equipartición, sino una suposición nueva e injustificada que se ajusta a los datos de alta frecuencia. ${\ Displaystyle 1/2 \ beta}$

${\ Displaystyle \, \ langle E_ {f} \ rangle = e ^ {- \ beta hf}}$

Cuando el valor esperado se suma a todos los modos en una cavidad, esta es la distribución de Wien y describe la distribución termodinámica de la energía en un gas clásico de fotones. La ley de Wien asume implícitamente que la luz está compuesta estadísticamente por paquetes que cambian la energía y la frecuencia de la misma manera. La entropía de un gas de Wien se escala como el volumen a la potencia N , donde N es el número de paquetes. Esto llevó a Einstein a sugerir que la luz está compuesta de partículas localizables con energía proporcional a la frecuencia. Luego, la entropía del gas de Wien puede interpretarse estadísticamente como el número de posibles posiciones en las que pueden estar los fotones.

Mecánica clásica - variables de acción

Suponga que un hamiltoniano varía lentamente en el tiempo, por ejemplo, un oscilador armónico unidimensional con una frecuencia cambiante.

${\ Displaystyle H_ {t} (p, x) = {p ^ {2} \ over 2m} + {m \ omega (t) ^ {2} x ^ {2} \ over 2} \,}$

La acción J de una órbita clásica es el área encerrada por la órbita en el espacio de fase.

${\ Displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p (t) {dx \ over dt} dt \,}$

Dado que J es una integral durante un período completo, es solo una función de la energía. Cuando el hamiltoniano es constante en el tiempo y J es constante en el tiempo, la variable conjugada canónicamente aumenta en el tiempo a un ritmo constante. ${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {d \ theta \ sobre dt} = {\ H parcial \ sobre \ J parcial} = H \, '(J) \,}$

Así la constante se puede utilizar para derivadas respecto al tiempo de cambio a lo largo de la órbita a las derivadas parciales con respecto a en constante J . Diferenciar la integral de J con respecto a J da una identidad que fija ${\ Displaystyle H \, '}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle H \, ':}$

${\ Displaystyle {dJ \ over dJ} = 1 = \ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ parcial p \ over \ parcial J} {dx \ over dt} + p {\ parcial \ over \ Particular J} {dx \ over dt} {\ bigg)} dt = H \, '\ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ Partical p \ over \ Particular J} {\ Particular x \ sobre \ parcial \ theta} - {\ parcial p \ sobre \ parcial \ theta} {\ parcial x \ sobre \ parcial J} {\ bigg)} dt \,}$

El integrando es el soporte de Poisson de x y p . El soporte de Poisson de dos cantidades canónicamente conjugadas como x y p es igual a 1 en cualquier canónica sistema de coordenadas. Entonces

${\ Displaystyle 1 = H \, '\ int _ {0} ^ {T} \ {x, p \} \, dt = H \,' \, T \,}$

y es el período inverso. La variable aumenta en una cantidad igual en cada período para todos los valores de J ; es una variable de ángulo. ${\ Displaystyle H \, '}$${\ Displaystyle \ theta}$

Invarianza adiabática de J

El hamiltoniano es una función de J únicamente, y en el caso simple del oscilador armónico.

${\ Displaystyle \, H = \ omega J \,}$

Cuando H no tiene dependencia del tiempo, J es constante. Cuando H varía lentamente en el tiempo, la tasa de cambio de J se puede calcular reexpresando la integral de J

${\ Displaystyle J = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} p {\ parcial x \ sobre \ parcial \ theta} d \ theta \,}$

La derivada temporal de esta cantidad es

${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {dp \ over dt} {\ partial x \ over \ partial \ theta} + p {d \ over dt} {\ parcial x \ sobre \ parcial \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Reemplazando las derivadas de tiempo con derivadas theta, usando y estableciendo sin pérdida de generalidad ( siendo una constante multiplicativa global en la derivada de tiempo resultante de la acción), se obtiene ${\ Displaystyle d \ theta = \ omega dt \,}$${\ Displaystyle \ omega: = 1 \,}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {dJ \ sobre dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {\ p parcial \ sobre \ parcial \ theta} {\ parcial x \ sobre \ parcial \ theta} + p {\ parcial \ sobre \ parcial \ theta} {\ parcial x \ sobre \ parcial \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Así que, mientras las coordenadas J , no cambian apreciablemente más de un periodo, esta expresión se puede integrar por partes para dar cero. Esto significa que para variaciones lentas, no hay un cambio de orden más bajo en el área encerrada por la órbita. Este es el teorema de la invariancia adiabática: las variables de acción son invariantes adiabáticas. ${\ Displaystyle \ theta}$

Para un oscilador armónico, el área en el espacio de fase de una órbita en la energía E es el área de la elipse de energía constante,

${\ Displaystyle E = {p ^ {2} \ over 2m} + {m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ over 2} \,}$

El radio x de esta elipse es , mientras que el radio p de la elipse es . Multiplicando, el área es . Entonces, si un péndulo se introduce lentamente, de modo que la frecuencia cambia, la energía cambia en una cantidad proporcional. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2E / \ omega ^ {2} m}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$${\ Displaystyle 2 \ pi E / \ omega}$

Teoría cuántica antigua

Después de que Planck identificara que la ley de Wien se puede extender a todas las frecuencias, incluso a las muy bajas, interpolando con la ley clásica de equipartición para la radiación, los físicos querían comprender el comportamiento cuántico de otros sistemas.

La ley de radiación de Planck cuantificó el movimiento de los osciladores de campo en unidades de energía proporcionales a la frecuencia:

${\ Displaystyle E = hf = \ hbar \ omega \,}$

El cuanto solo puede depender de la energía / frecuencia por invariancia adiabática, y dado que la energía debe ser aditiva al poner cajas de punta a punta, los niveles deben estar igualmente espaciados.

Einstein, seguido de Debye, amplió el dominio de la mecánica cuántica al considerar los modos de sonido en un sólido como osciladores cuantificados . Este modelo explicó por qué el calor específico de los sólidos se acercó a cero a bajas temperaturas, en lugar de permanecer fijo como predice la equipartición clásica . ${\ Displaystyle 3k_ {B}}$

En la conferencia de Solvay , se planteó la cuestión de cuantificar otros movimientos y Lorentz señaló un problema, conocido como péndulo de Rayleigh-Lorentz . Si considera un péndulo cuántico cuya cuerda se acorta muy lentamente, el número cuántico del péndulo no puede cambiar porque en ningún momento hay una frecuencia lo suficientemente alta como para causar una transición entre los estados. Pero la frecuencia del péndulo cambia cuando la cuerda es más corta, por lo que los estados cuánticos cambian de energía.

Einstein respondió que para un tirón lento, la frecuencia y la energía del péndulo cambian, pero la relación permanece fija. Esto es análogo a la observación de Wien de que bajo el movimiento lento de la pared, la relación entre la energía y la frecuencia de las ondas reflejadas es constante. La conclusión fue que las cantidades a cuantificar deben ser invariantes adiabáticas.

Sommerfeld amplió esta línea de argumentación en una teoría general: el número cuántico de un sistema mecánico arbitrario viene dado por la variable de acción adiabática. Dado que la variable de acción en el oscilador armónico es un número entero, la condición general es:

${\ Displaystyle \ int pdq = nh \,}$

Esta condición fue la base de la antigua teoría cuántica , que fue capaz de predecir el comportamiento cualitativo de los sistemas atómicos. La teoría es inexacta para pequeños números cuánticos, ya que mezcla conceptos clásicos y cuánticos. Pero fue un útil paso intermedio hacia la nueva teoría cuántica .

Física del plasma

En la física del plasma hay tres invariantes adiabáticos de movimiento de partículas cargadas.

El primer invariante adiabático, μ

El momento magnético de una partícula giratoria,

${\ Displaystyle \ mu = {\ frac {mv _ {\ perp} ^ {2}} {2B}}}$

es una constante del movimiento a todos los órdenes en una expansión en , donde es la tasa de cualquier cambio experimentado por la partícula, por ejemplo, debido a colisiones o debido a variaciones temporales o espaciales en el campo magnético. En consecuencia, el momento magnético permanece casi constante incluso para cambios a velocidades que se acercan a la girofrecuencia. Cuando μ es constante, la energía de la partícula perpendicular es proporcional a B , por lo que las partículas se pueden calentar aumentando B , pero este es un trato de "una sola vez" porque el campo no se puede aumentar indefinidamente. Encuentra aplicaciones en espejos magnéticos y botellas magnéticas . ${\ Displaystyle \ omega / \ omega _ {c}}$${\ Displaystyle \ omega}$

Hay algunas situaciones importantes en las que el momento magnético no es invariante:

• Bombeo magnético: si la frecuencia de colisión es mayor que la frecuencia de la bomba, μ ya no se conserva. En particular, las colisiones permiten el calentamiento neto al transferir parte de la energía perpendicular a la energía paralela.
• Calentamiento del ciclotrón: si B oscila a la frecuencia del ciclotrón, se viola la condición de invariancia adiabática y es posible el calentamiento. En particular, el campo eléctrico inducido rota en fase con algunas de las partículas y las acelera continuamente.
• Cúspides magnéticas: el campo magnético en el centro de una cúspide desaparece, por lo que la frecuencia del ciclotrón es automáticamente más pequeña que la velocidad de cualquier cambio. Por tanto, el momento magnético no se conserva y las partículas se dispersan con relativa facilidad en el cono de pérdida .

El segundo invariante adiabático, J

La invariante longitudinal de una partícula atrapada en un espejo magnético ,

${\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} p _ {\ paralelo} ds}$

donde la integral está entre los dos puntos de inflexión, también es un invariante adiabático. Esto garantiza, por ejemplo, que una partícula en la magnetosfera que se mueve alrededor de la Tierra siempre regresa a la misma línea de fuerza. La condición adiabática se viola en el bombeo magnético en tiempo de tránsito , donde la longitud de un espejo magnético oscila a la frecuencia de rebote, lo que produce un calentamiento neto.

El tercer invariante adiabático, ${\ Displaystyle \ Phi}$

El flujo magnético total encerrado por una superficie de deriva es el tercer invariante adiabático, asociado con el movimiento periódico de partículas atrapadas en un espejo que se desplazan alrededor del eje del sistema. Debido a que este movimiento de deriva es relativamente lento, a menudo no se conserva en aplicaciones prácticas. ${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ Phi}$

Referencias

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Principios Variacionales en Dinámica y Teoría Cuántica . Nueva York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (ed.). Conferencias Pauli de Física . 4 . Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . págs. 85–89

enlaces externos

• notas de clase sobre el segundo invariante adiabático
• notas de clase sobre el tercer invariante adiabático