Notación actuarial - Actuarial notation

Ejemplo de símbolo actuarial.
1. Una A mayúscula es una garantía que paga 1 en el evento asegurado; La minúscula a es una anualidad que paga 1 anual en el momento apropiado.
2. La barra implica continua - o pagada al momento de la muerte; punto doble - implica pagado al comienzo del año; sin marca implica pagado al final del año
3. por- año de edad, por años 4. pagado si muere dentro de años 5. diferido ( años) 6. sin significado fijo, implica el segundo momento para calcular , pero a menudo implica doble fuerza de interés${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$
${\ Displaystyle (x)}$${\ Displaystyle n}$
${\ Displaystyle m}$
${\ Displaystyle E (Z ^ {2}) = E ((v ^ {k_ {x} +1}) ^ {2})}$${\ Displaystyle v ^ {k_ {x} +1} = e ^ {\ delta (k_ {x} +1)}}$

La notación actuarial es un método abreviado que permite a los actuarios registrar fórmulas matemáticas que se ocupan de las tasas de interés y las tablas de vida .

La notación tradicional utiliza un sistema de halo donde los símbolos se colocan como superíndice o subíndice antes o después de la letra principal. A continuación se muestra un ejemplo de notación que utiliza el sistema de halo.

Se han hecho varias propuestas para adoptar un sistema lineal donde toda la notación estaría en una sola línea sin el uso de superíndices o subíndices. Tal método sería útil para calcular donde la representación del sistema de halo puede ser extremadamente difícil. Sin embargo, aún no ha surgido un sistema lineal estándar.

Notación de ejemplo

Tasas de interés

${\ Displaystyle \, i}$es la tasa de interés efectiva anual , que es la tasa de interés "verdadera" durante un año . Por tanto, si la tasa de interés anual es del 12%, entonces . ${\ Displaystyle \, i = 0,12}$

${\ Displaystyle \, i ^ {(m)}}$(pronunciado "i m superior ") es la tasa de interés nominal convertible veces al año, y es numéricamente igual a multiplicada por la tasa de interés efectiva durante una ^{décima parte} de un año. Por ejemplo, ¿ es la tasa de interés nominal convertible semestralmente? Si la tasa de interés anual efectiva es del 12%, entonces representa la tasa de interés efectiva cada seis meses. Desde , tenemos y por lo tanto . La ^{"(m)" que} aparece en el símbolo no es un " exponente ". Simplemente representa el número de conversiones de intereses, o tiempos de capitalización, por año. La capitalización semestral (o conversión de intereses cada seis meses) se utiliza con frecuencia para valorar bonos (ver también valores de renta fija ) e instrumentos de pasivo financiero monetario similares , mientras que las hipotecas de viviendas con frecuencia convierten los intereses mensualmente. Siguiendo el ejemplo anterior de nuevo donde , tenemos desde . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \, i ^ {(2)}}$${\ Displaystyle \, i ^ {(2)} / 2}$${\ Displaystyle \, (1.0583) ^ {2} = 1.12}$${\ Displaystyle \, i ^ {(2)} / 2 = 0.0583}$${\ Displaystyle \, i ^ {(2)} = 0.1166}$${\ Displaystyle \, i ^ {(m)}}$${\ Displaystyle \, i = 0,12}$${\ Displaystyle \, i ^ {(12)} = 0.1139}$${\ Displaystyle \, \ left (1 + {\ frac {0.1139} {12}} \ right) ^ {12} = 1.12}$

Las tasas de interés efectivas y nominales no son iguales porque los intereses pagados en períodos de medición anteriores "devengan" intereses en períodos de medición posteriores; esto se llama interés compuesto . Es decir, las tasas nominales de interés de crédito de interés a un inversor, (alternativamente cargo o débito , el interés de un deudor), con más frecuencia que las tasas efectivas. El resultado es una composición más frecuente de los ingresos por intereses para el inversor (o los gastos por intereses para el deudor), cuando se utilizan tasas nominales.

El símbolo representa el valor actual de 1 a pagar dentro de un año: ${\ Displaystyle \, v}$

${\ Displaystyle \, v = {(1 + i)} ^ {- 1} \ approx 1-i + i ^ {2}}$

Este factor de valor presente, o factor de descuento, se utiliza para determinar la cantidad de dinero que se debe invertir ahora para tener una determinada cantidad de dinero en el futuro. Por ejemplo, si necesita 1 en un año, entonces la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: . Si necesita 25 en 5 años la cantidad de dinero que debe invertir ahora es: . ${\ Displaystyle \, 1 \ times v}$${\ Displaystyle \, 25 \ times v ^ {5}}$

${\ Displaystyle \, d}$es la tasa de descuento efectiva anual :

${\ Displaystyle d = {\ frac {i} {1 + i}} \ approx ii ^ {2}}$

El valor de también se puede calcular a partir de las siguientes relaciones: La tasa de descuento es igual a la cantidad de interés ganado durante un período de un año, dividido por el saldo de dinero al final de ese período. Por el contrario, una tasa de interés efectiva anual se calcula dividiendo la cantidad de interés ganado durante un período de un año por el saldo de dinero al comienzo del año. El valor presente (hoy) de un pago de 1 que se hará años en el futuro es . Esto es análogo a la fórmula para los años de valor futuros (o acumulados) en el futuro de una cantidad de 1 invertida hoy. ${\ Displaystyle \, d}$${\ Displaystyle \, (1-d) = v = {(1 + i)} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \, n}$${\ Displaystyle \, {(1-d)} ^ {n}}$${\ Displaystyle \, {(1 + i)} ^ {n}}$${\ Displaystyle \, n}$

${\ Displaystyle \, d ^ {(m)}}$, la tasa nominal de descuento convertible veces al año, es análoga a . El descuento se convierte en una ^ª base-mente. ${\ Displaystyle \, m}$${\ Displaystyle \, i ^ {(m)}}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle \, \ delta}$, la fuerza del interés , es el valor límite de la tasa de interés nominal cuando aumenta sin límite: ${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle \, \ delta = \ lim _ {m \ to \ infty} i ^ {(m)}}$

En este caso, el interés es convertible de forma continua .

La relación general entre , y es: ${\ Displaystyle \, i}$${\ Displaystyle \, \ delta}$${\ Displaystyle \, d}$

${\ Displaystyle \, (1 + i) = \ left (1 + {\ frac {i ^ {(m)}} {m}} \ right) ^ {m} = e ^ {\ delta} = \ left ( 1 - {\ frac {d ^ {(m)}} {m}} \ right) ^ {- m} = (1-d) ^ {- 1}}$

Su valor numérico se puede comparar de la siguiente manera:

${\ Displaystyle \, i> i ^ {(2)}> i ^ {(3)}> \ cdots> \ delta> \ cdots> d ^ {(3)}> d ^ {(2)}> d}$

Tablas de vida

Una tabla de vida (o una tabla de mortalidad) es una construcción matemática que muestra el número de personas vivas (según los supuestos utilizados para construir la tabla) a una edad determinada. Además del número de vidas restantes en cada edad, una tabla de mortalidad generalmente proporciona varias probabilidades asociadas con el desarrollo de estos valores.

${\ Displaystyle \, l_ {x}}$es el número de personas vivas, en relación con una cohorte original, por edad . A medida que aumenta la edad, disminuye el número de personas vivas. ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \, l_ {0}}$es el punto de partida para : el número de personas vivas a la edad de 0 años. Esto se conoce como la base de la tabla. Algunas tablas de mortalidad comienzan a una edad superior a 0, en cuyo caso la base es el número de personas que se supone que están vivas a la edad más joven de la tabla. ${\ Displaystyle \, l_ {x}}$

${\ Displaystyle \ omega}$es la edad límite de las tablas de mortalidad. es cero para todos . ${\ Displaystyle \, l_ {n}}$${\ Displaystyle \, n \ geq \ omega}$

${\ Displaystyle \, d_ {x}}$es el número de personas que mueren entre una edad y otra . se puede calcular usando la fórmula${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + 1}$${\ Displaystyle \, d_ {x}}$${\ Displaystyle \, d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$

${\ Displaystyle x}$	${\ Displaystyle l_ {x}}$	${\ Displaystyle d_ {x}}$
0	${\ Displaystyle l_ {0}}$
...	...	...
${\ Displaystyle x}$	${\ Displaystyle l_ {x}}$	${\ Displaystyle d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$
${\ Displaystyle x + 1}$	${\ Displaystyle l_ {x + 1}}$	${\ Displaystyle d_ {x + 1}}$
...	...	...
${\ Displaystyle \ omega -1}$	${\ Displaystyle l _ {\ omega -1}}$	${\ Displaystyle d _ {\ omega -1} = l _ {\ omega -1}}$
${\ Displaystyle \ omega}$	0	0

${\ Displaystyle \, q_ {x}}$es la probabilidad de muerte entre las edades de y la edad . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + 1}$

${\ Displaystyle \, q_ {x} = d_ {x} / l_ {x}}$

${\ Displaystyle \, p_ {x}}$es la probabilidad de que una edad sobreviva hasta la edad . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + 1}$

${\ Displaystyle \, p_ {x} = l_ {x + 1} / l_ {x}}$

Dado que las únicas alternativas posibles de una edad ( ) a la siguiente ( ) son vivir y morir, la relación entre estas dos probabilidades es: ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + 1}$

${\ Displaystyle \, p_ {x} + q_ {x} = 1}$

Estos símbolos también pueden extenderse a varios años, insertando el número de años en la parte inferior izquierda del símbolo básico.

${\ Displaystyle \, _ {n} d_ {x} = d_ {x} + d_ {x + 1} + \ cdots + d_ {x + n-1} = l_ {x} -l_ {x + n}}$muestra el número de personas que mueren entre una edad y otra . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + n}$

${\ Displaystyle \, _ {n} q_ {x}}$es la probabilidad de muerte entre las edades de y la edad . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + n}$

${\ Displaystyle \, _ {n} q_ {x} = {} _ {n} d_ {x} / l_ {x}}$

${\ Displaystyle \, _ {n} p_ {x}}$es la probabilidad de que una edad sobreviva hasta la edad . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + n}$

${\ Displaystyle \, _ {n} p_ {x} = l_ {x + n} / l_ {x}}$

Otra estadística que se puede obtener de una tabla de vida es la esperanza de vida .

${\ Displaystyle \, e_ {x}}$es la corta expectativa de vida de una persona viva a la edad . Este es el número esperado de años completos que le quedan por vivir (puede pensar en él como el número esperado de cumpleaños que la persona celebrará). ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \, e_ {x} = \ sum _ {t = 1} ^ {\ infty} \ _ {t} p_ {x}}$

Una tabla de vida generalmente muestra el número de personas vivas en edades integrales. Si necesitamos información sobre una fracción de un año, debemos hacer suposiciones con respecto a la tabla, si no está ya implícito en una fórmula matemática subyacente a la tabla. Un supuesto común es el de una Distribución Uniforme de Muertes (UDD) en cada año de edad. Bajo este supuesto, hay una interpolación lineal entre y . es decir ${\ Displaystyle \, l_ {x + t}}$${\ Displaystyle \, l_ {x}}$${\ Displaystyle \, l_ {x + 1}}$

${\ Displaystyle \, l_ {x + t} = (1-t) l_ {x} + tl_ {x + 1}}$

Anualidades

Ilustración de los flujos de pago representados por notación actuarial para anualidades.

El símbolo básico del valor presente de una anualidad es . Luego se puede agregar la siguiente notación: ${\ Displaystyle \, a}$

• La notación en la parte superior derecha indica la frecuencia de pago (es decir, el número de pagos de anualidades que se realizarán durante cada año). La falta de dicha notación significa que los pagos se realizan anualmente.
• La notación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza la anualidad y el período por el cual se paga la anualidad.
• La notación directamente encima del símbolo básico indica cuándo se realizan los pagos. Dos puntos indican una anualidad cuyos pagos se realizan al comienzo de cada año (una "anualidad vencida"); una línea horizontal sobre el símbolo indica una anualidad pagadera continuamente (una "anualidad continua"); ninguna marca encima del símbolo básico indica una anualidad cuyos pagos se realizan al final de cada año (una "anualidad inmediata").

Si los pagos que se realizarán en virtud de una anualidad son independientes de cualquier evento de vida, se lo conoce como anualidad segura . De lo contrario, en particular si los pagos terminan con la muerte del beneficiario , se denomina renta vitalicia .

${\ Displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i}}$(lea a-ángulo-n en i ) representa el valor presente de una anualidad-inmediata, que es una serie de pagos unitarios al final de cada año durante años (en otras palabras: el valor un período antes del primero de n pagos ). Este valor se obtiene de: ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \, a _ {{\ overline {n |}} i} = v + v ^ {2} + \ cdots + v ^ {n} = {\ frac {1-v ^ {n}} {i} }}$

${\ Displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i}}$representa el valor presente de una anualidad adeudada, que es una serie de pagos unitarios al comienzo de cada año durante años (en otras palabras: el valor en el momento del primero de n pagos). Este valor se obtiene de: ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = 1 + v + \ cdots + v ^ {n-1} = {\ frac {1-v ^ {n}} { D}}}$

${\ Displaystyle \, s _ {{\ overline {n |}} i}}$es el valor en el momento del último pago, el valor un período después. ${\ Displaystyle {\ ddot {s}} _ {{\ overline {n |}} i}}$

Si el símbolo se agrega a la esquina superior derecha, representa el valor presente de una anualidad cuyos pagos se realizan cada uno de los años por un período de años, y cada pago es una parte de una unidad. ${\ Displaystyle \, (m)}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} = {\ frac {1-v ^ {n}} {i ^ {(m)}}}}$, ${\ Displaystyle {\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} = {\ frac {1-v ^ {n}} {d ^ {(m)}} }}$

${\ Displaystyle {\ overline {a}} _ {{\ overline {n |}} i}}$es el valor límite de cuando aumenta sin límite. La anualidad subyacente se conoce como anualidad continua . ${\ Displaystyle \, a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)}}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle {\ overline {a}} _ {{\ overline {n |}} i} = {\ frac {1-v ^ {n}} {\ delta}}}$

Los valores actuales de estas anualidades se pueden comparar de la siguiente manera:

${\ Displaystyle a _ {{\ overline {n |}} i} <a _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} <{\ overline {a}} _ {{\ overline {n | }} i} <{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} ^ {(m)} <{\ ddot {a}} _ {{\ overline {n |}} i} }$

Para comprender las relaciones que se muestran arriba, considere que los flujos de efectivo pagados en un momento posterior tienen un valor presente menor que los flujos de efectivo del mismo monto total que se pagan en momentos anteriores.

• El subíndice que representa la tasa de interés puede reemplazarse por o , y a menudo se omite si la tasa se conoce claramente por el contexto.${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ delta}$
• Cuando se utilizan estos símbolos, la tasa de interés no es necesariamente constante durante la vida útil de las anualidades. Sin embargo, cuando la tasa varía, las fórmulas anteriores dejarán de ser válidas; Se pueden desarrollar fórmulas particulares para movimientos particulares de la tasa.

Rentas vitalicias

Una renta vitalicia es una renta cuyos pagos dependen de la continuidad de la vida del beneficiario. La edad del beneficiario es una consideración importante al calcular el valor presente actuarial de una anualidad.

• La edad del beneficiario se coloca en la parte inferior derecha del símbolo, sin una marca de "ángulo".

Por ejemplo:

${\ Displaystyle \, a_ {65}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al final de cada año hasta la muerte de alguien que actualmente tiene 65 años

${\ Displaystyle a _ {\ overline {10 |}}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera durante 10 años y los pagos se realizan al final de cada año

${\ Displaystyle a_ {65: {\ overline {10 |}}}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año durante 10 años, o hasta la muerte si es antes, para alguien que actualmente tiene 65 años

${\ Displaystyle a_ {65:64}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año hasta la muerte anterior del miembro o la muerte del cónyuge, para alguien que actualmente tenga 65 años y el cónyuge 64

${\ Displaystyle a _ {\ overline {65:64}}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año hasta el fallecimiento posterior del miembro o el fallecimiento del cónyuge, para alguien que actualmente tenga 65 años y el cónyuge 64.

${\ Displaystyle a_ {65} ^ {(12)}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera 12 veces al año (1/12 unidad por mes) hasta la muerte de alguien que actualmente tiene 65 años

${\ Displaystyle {\ ddot {a}} _ {65}}$ indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al comienzo de cada año hasta la muerte de alguien que actualmente tiene 65 años

o en general:

${\ Displaystyle a_ {x: {\ overline {n |}} i} ^ {(m)}}$, donde es la edad del beneficiario, es el número de años de pagos (o hasta la muerte si es anterior), es el número de pagos por año y es la tasa de interés. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle i}$

En aras de la simplicidad, la notación es limitada y no muestra, por ejemplo, si la anualidad es pagadera a un hombre o una mujer (un hecho que normalmente se determinaría a partir del contexto, incluso si la tabla de vida se basa en hombres o mujeres). tasas de mortalidad femenina).

El valor actual actuarial de los pagos contingentes de por vida puede tratarse como la expectativa matemática de una variable aleatoria de valor presente, o calcularse mediante la forma de pago actual.

Seguro de vida

El símbolo básico de un seguro de vida es . Luego se puede agregar la siguiente notación: ${\ Displaystyle \, A}$

• La notación en la parte superior derecha indica el momento del pago de un beneficio por fallecimiento. La falta de anotación significa que los pagos se realizan al final del año de la muerte. Una cifra entre paréntesis (por ejemplo ) significa que el beneficio se paga al final del período indicado (12 mensuales; 4 trimestrales; 2 semestrales; 365 diarios).${\ Displaystyle A ^ {(12)}}$
• La notación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza el seguro de vida.
• La notación directamente encima del símbolo básico indica el "tipo" de seguro de vida, ya sea pagadero al final del período o inmediatamente. Una línea horizontal indica que el seguro de vida se paga inmediatamente, mientras que ninguna marca sobre el símbolo indica que el pago debe realizarse al final del período indicado.

Por ejemplo:

${\ Displaystyle \, A_ {x}}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del año de fallecimiento.

${\ Displaystyle \, A_ {x} ^ {(12)}}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del mes de fallecimiento.

${\ Displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x}}$ indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero en el instante (matemático) de la muerte.

Prima

El símbolo básico de premium es o . generalmente se refiere a las primas netas por año, a las primas especiales, como una prima única. ${\ Displaystyle \, P}$${\ Displaystyle \, \ pi}$${\ Displaystyle \, P}$${\ Displaystyle \, \ pi}$

Fuerza de la mortalidad

Entre los actuarios, la fuerza de la mortalidad se refiere a lo que los economistas y otros científicos sociales llaman la tasa de riesgo y se interpreta como una tasa instantánea de mortalidad a una determinada edad medida sobre una base anualizada.

En una tabla de vida, consideramos la probabilidad de que una persona muera entre la edad ( x ) y la edad x  + 1; esta probabilidad se llama q _x . En el caso continuo, también podríamos considerar la probabilidad condicional de que una persona que ha alcanzado la edad ( x ) muera entre la edad ( x ) y la edad ( x  + Δ x ) como:

${\ Displaystyle P _ {\ Delta x} (x) = P (x <X <x + \ Delta \; x \ mid \; X> x) = {\ frac {F_ {X} (x + \ Delta \; x) -F_ {X} (x)} {(1-F_ {X} (x))}}}$

donde F _X ( x ) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria continua de edad al morir , X. Como Δ x tiende a cero, también lo hace esta probabilidad en el caso continuo. La fuerza aproximada de la mortalidad es esta probabilidad dividida por Δ x . Si dejamos que Δ x tienda a cero, obtenemos la función de fuerza de mortalidad , denotada como μ ( x ):

${\ Displaystyle \ mu \, (x) = {\ frac {F '_ {X} (x)} {1-F_ {X} (x)}}}$

Ver también

• Valor presente actuarial
• Ciencia actuarial
• Tasa de porcentaje anual
• Matemáticas de las finanzas

enlaces externos

• Descripción de 1949 en la Revista del Instituto de Actuarios.
• Suite de notación actuarial internacional