Coordenadas del ángulo de acción - Action-angle coordinates

En la mecánica clásica , las coordenadas del ángulo de acción son un conjunto de coordenadas canónicas útiles para resolver muchos sistemas integrables . El método de los ángulos de acción es útil para obtener las frecuencias de movimiento oscilatorio o rotacional sin resolver las ecuaciones del movimiento . Las coordenadas de los ángulos de acción se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables. (Por lo tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, la energía se conserva ). Las variables de ángulo de acción definen un toro invariante , llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro , mientras que las variables de ángulo parametrizan las coordenadas en el toro.

Las condiciones de cuantificación de Bohr-Sommerfeld , utilizadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del advenimiento de la mecánica ondulatoria , establecen que la acción debe ser un múltiplo integral de la constante de Planck ; De manera similar, la percepción de Einstein sobre la cuantificación de EBK y la dificultad de cuantificar sistemas no integrables se expresó en términos de toros invariantes de coordenadas de ángulos de acción.

Las coordenadas del ángulo de acción también son útiles en la teoría de perturbaciones de la mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con un pequeño número de grados de libertad, es el teorema KAM , que establece que los toros invariantes son estables bajo pequeñas perturbaciones.

El uso de variables de ángulo de acción fue fundamental para la solución de la red de Toda y para la definición de pares Lax , o más en general, la idea de la evolución isoespectral de un sistema.

Derivación

Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton ( no la función principal de Hamilton ). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano es simplemente el viejo hamiltoniano expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como (los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados . No necesitaremos resolver aquí la función generadora en sí; en cambio, lo usaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas . ${\ Displaystyle W (\ mathbf {q})}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle K (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})}$ ${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ Displaystyle W}$

En lugar de definir los ángulos de acción directamente, definimos sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original. ${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ Displaystyle J_ {k} \ equiv \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k}}

donde la ruta de integración viene implícitamente dada por la función de energía constante . Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas ${\ Displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$ ${\ Displaystyle J_ {k}}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ frac {\ parcial K} {\ parcial w_ {k}}}}

donde los están dados por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2 ${\ Displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle w_ {k} \ equiv {\ frac {\ parcial W} {\ parcial J_ {k}}}}

Por tanto, el nuevo hamiltoniano depende únicamente de los nuevos momentos generalizados . ${\ Displaystyle K = K (\ mathbf {J})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$

La dinámica de los ángulos de acción viene dada por las ecuaciones de Hamilton

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} w_ {k} = {\ frac {\ parcial K} {\ parcial J_ {k}}} \ equiv \ nu _ { k} (\ mathbf {J})}

El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos lo son). Por tanto, la solución viene dada por ${\ Displaystyle J}$

{\ Displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

donde es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período , el ángulo de acción correspondiente cambia en . ${\ Displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle w_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}$

Estas son las frecuencias de oscilación / rotación para las coordenadas generalizadas originales . Para mostrar esto, integramos el cambio neto en el ángulo de acción sobre exactamente una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas. ${\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J})}$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$ ${\ Displaystyle w_ {k}}$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$

{\ Displaystyle \ Delta w_ {k} \ equiv \ unción {\ frac {\ parcial w_ {k}} {\ parcial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = \ unción {\ frac {\ parcial ^ {2} W} {\ parcial J_ {k} \, \ parcial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ parcial W} {\ parcial q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} J_ {k}} {\ mathrm {d } J_ {k}}} = 1}

Estableciendo las dos expresiones iguales, obtenemos la ecuación deseada ${\ Displaystyle \ Delta w_ {k}}$

{\ Displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ frac {1} {T}}}

Los ángulos de acción son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Así, en el caso general, cada coordenada generalizada original se puede expresar como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción ${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$

{\ Displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}

donde es el coeficiente de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos prácticos, sin embargo, una coordenada generalizada original se podrá expresar como una serie de Fourier solo en sus propios ángulos de acción. ${\ Displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle q_ {k}}$ ${\ Displaystyle w_ {k}}$

{\ Displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}

Resumen del protocolo básico

El procedimiento general tiene tres pasos:

Calcule los nuevos momentos generalizados ${\ Displaystyle J_ {k}}$
Exprese el hamiltoniano original enteramente en términos de estas variables.
Tome las derivadas del hamiltoniano con respecto a estos momentos para obtener las frecuencias ${\ Displaystyle \ nu _ {k}}$

Degeneración

En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir, para . En tales casos, el movimiento se llama degenerado . ${\ Displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$ ${\ Displaystyle k \ neq l}$

El movimiento degenerado indica que hay cantidades conservadas generales adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .

El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; Por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable en ambas coordenadas esféricas y coordenadas parabólicas .

Ver también

Referencias

LD Landau y EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3er. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).
H. Goldstein, (1980) Mecánica clásica , 2do. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
G. Sardanashntly , (2015) Manual de sistemas hamiltonianos integrables , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
Previato, Emma (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0

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