teoría acústica - Acoustic theory


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Teoría acústica es un campo científico que se relaciona con la descripción de las ondas sonoras . Se deriva de la dinámica de fluidos . Ver la acústica de la ingeniería de enfoque.

Propagación de las ondas de sonido en un fluido (tal como agua) puede ser modelado por una ecuación de continuidad (conservación de masa ) y una ecuación de movimiento (conservación de impulso ). Con algunas simplificaciones, en particular densidad constante, se les puede dar como sigue:

donde es la presión acústica y es la velocidad de flujo del vector, es el vector de coordenadas espaciales , es el momento, es la densidad de masa estática del medio y es el módulo volumétrico del medio. El módulo de compresibilidad se puede expresar en términos de la densidad y la velocidad del sonido en el medio ( ) como

Si el campo de velocidad de flujo es irrotacional , , entonces la ecuación de onda acústica es una combinación de estos dos conjuntos de ecuaciones de balance y se puede expresar como

donde se ha utilizado el laplaciano vectorial , . La ecuación de onda acústica (y las ecuaciones de masa y centrado impulso) se expresan a menudo en términos de un potencial escalar donde . En ese caso, la ecuación de onda acústica se escribe como

y el saldo impulso y balance de masa se expresan como

Derivación de las ecuaciones que rigen

Las derivaciones de las ecuaciones anteriores para las ondas en un medio acústico se dan a continuación.

Conservación de momento

Las ecuaciones para la conservación del momento lineal de un medio fluido son

donde es la fuerza corporal por unidad de masa, es la presión, y es la tensión desviadora . Si es la tensión de Cauchy , entonces

donde es el tensor identidad de rango-2.

Hacemos varios supuestos para derivar la ecuación de balance de impulso para un medio acústico. Estos supuestos y las formas resultantes de las ecuaciones de momento se describen a continuación.

Supuesto 1: fluido newtoniano

En acústica, el medio fluido se supone que es newtoniano . Para un fluido newtoniano, el tensor de tensión desviadora está relacionada con la velocidad de flujo por

donde es el cizallamiento de la viscosidad y es la viscosidad en masa .

Por lo tanto, la divergencia de está dada por

El uso de la identidad , tenemos

Las ecuaciones para la conservación del momento pueden entonces escribirse como

Supuesto 2: flujo irrotacional

Para la mayoría de los problemas de acústica se supone que el flujo es irrotacional, es decir, la vorticidad es cero. En ese caso

y la ecuación de momento se reduce a

Supuesto 3: No hay fuerzas de cuerpo

Otra suposición hecha con frecuencia es que el efecto de las fuerzas de cuerpo en el medio fluido es despreciable. La ecuación de momento entonces simplifica aún más a

Supuesto 4: No hay fuerzas viscosas

Además, si se supone que no hay fuerzas viscosas en el medio (la mayor y viscosidades de cizallamiento son cero), la ecuación de momento toma la forma

Supuesto 5: Las pequeñas perturbaciones

Un supuesto importante para la simplificación de las ondas acústicas es que la amplitud de la perturbación de las magnitudes de campo es pequeña. Esta suposición conduce a la ecuación de onda de la señal acústica lineal o pequeño. Entonces podemos expresar las variables como la suma de la (tiempo promedio) de campo medio ( ) que varía en el espacio y un pequeño campo fluctuante ( ) que varía en el espacio y el tiempo. Es decir

y

Entonces la ecuación de momento se puede expresar como

Dado que las fluctuaciones se supone que son pequeños, los productos de los términos de fluctuación puede ser descuidado (primer orden) y tenemos

Supuesto 6: medio homogéneo

A continuación se supone que el medio es homogéneo; en el sentido de que el tiempo promedio de las variables y tener cero gradientes, es decir,

La ecuación de momento se convierte entonces

Supuesto 7: Medio en reposo

En esta etapa se supone que el medio está en reposo, lo que implica que la velocidad de flujo media es cero, es decir, . A continuación, el balance de cantidad de movimiento se reduce a

Dejar caer las tildes y usar , obtenemos la forma de uso general de la ecuación de momento acústica

Conservación de la masa

La ecuación de la conservación de la masa en un volumen de fluido (sin ningún tipo de fuentes de masas o sumideros) viene dada por

donde es la densidad de masa del fluido y es la velocidad del flujo.

La ecuación de la conservación de la masa para un medio acústico también se puede derivar de una manera similar a la utilizada para la conservación del momento.

Supuesto 1: Las pequeñas perturbaciones

A partir de la asunción de pequeñas perturbaciones que tenemos

y

Entonces la ecuación de balance de masa se puede escribir como

Si descuidamos más alto que los términos de primer orden en las fluctuaciones, la ecuación de balance de masa se convierte

Supuesto 2: medio homogéneo

Siguiente suponemos que el medio es homogéneo, es decir,

Entonces la ecuación de balance de masa adopta la forma

Supuesto 3: Medio en reposo

En esta etapa se supone que el medio está en reposo, es decir, . Entonces la ecuación de balance de masa se puede expresar como

Supuesto 4: gas Ideal, adiabático, reversible

Para cerrar el sistema de ecuaciones que necesitamos una ecuación de estado de la presión. Para ello se supone que el medio es un gas ideal y todas las ondas acústicas comprimir el medio en una adiabática y reversible manera. La ecuación de estado se puede expresar en la forma de la ecuación diferencial:

donde es el calor específico a presión constante, es el calor específico a volumen constante, y es la velocidad de onda. El valor de es de 1,4 si el medio acústico es aire.

Para las pequeñas perturbaciones

donde es la velocidad del sonido en el medio.

Por lo tanto,

El balance de masa se puede escribir como

Dejar caer las tildes y la definición nos da la expresión comúnmente utilizada para el equilibrio de la masa en un medio acústico:

Consejo de ecuaciones en coordenadas cilíndricas

Si usamos un sistema de coordenadas cilíndricas con vectores de la base , entonces el gradiente de y la divergencia de vienen dadas por

donde la velocidad de flujo se ha expresado como .

Las ecuaciones para la conservación del momento pueden entonces escribirse como

En cuanto a los componentes, estas tres ecuaciones para la conservación del momento en coordenadas cilíndricas son

La ecuación de la conservación de la masa de manera similar se puede escribir en coordenadas cilíndricas como

Tiempo armónico ecuaciones acústicas en coordenadas cilíndricas

Las ecuaciones acústicos para la conservación del momento y de la conservación de la masa se expresan a menudo en el tiempo de armónicos forma (al fijo de frecuencia ). En ese caso, las presiones y la velocidad de flujo se supone que son de tiempo funciones armónicas de la forma

donde es la frecuencia. La sustitución de estas expresiones en las ecuaciones que rigen en coordenadas cilíndricas nos da la forma de frecuencia fija de la conservación del momento

y la forma de frecuencia fija de la conservación de la masa

Caso especial: Sin z-dependencia

En el caso especial en el que las cantidades de campo son independientes de la coordenada z podemos eliminar para obtener

Suponiendo que la solución de esta ecuación puede escribirse como

podemos escribir la ecuación diferencial parcial

El lado izquierdo no es una función de mientras que el lado derecho no es una función de . Por lo tanto,

donde es una constante. El uso de la sustitución

tenemos

La ecuación de la izquierda es la ecuación de Bessel , que tiene la solución general

donde es la cilíndrica función de Bessel de primera especie y son constantes indeterminadas. La ecuación de la derecha tiene la solución general

donde son constantes indeterminadas. Después, la solución de la ecuación de onda acústica es

Se necesitan condiciones de contorno en esta etapa para determinar y las otras constantes indeterminadas.

referencias

Ver también