La teoría acústica es un campo científico que se relaciona con la descripción de ondas sonoras . Se deriva de la dinámica de fluidos . Consulte acústica para el enfoque de ingeniería .
Para ondas sonoras de cualquier magnitud de perturbación en velocidad, presión y densidad, tenemos
En el caso de que las fluctuaciones en velocidad, densidad y presión sean pequeñas, podemos aproximarlas como
¿Dónde está la velocidad perturbada del fluido, es la presión del fluido en reposo, es la presión perturbada del sistema en función del espacio y el tiempo, es la densidad del fluido en reposo y es la varianza en la densidad de el fluido sobre el espacio y el tiempo.
En el caso de que la velocidad sea irrotacional ( ), entonces tenemos la ecuación de onda acústica que describe el sistema:
Donde tenemos
Derivación para un medio en reposo
Comenzando con la ecuación de continuidad y la ecuación de Euler:
Si tomamos pequeñas perturbaciones de presión y densidad constantes:
Entonces las ecuaciones del sistema son
Teniendo en cuenta que las presiones y densidades de equilibrio son constantes, esto simplifica a
Un medio en movimiento
Empezando con
Podemos hacer que estas ecuaciones funcionen para un medio en movimiento estableciendo , donde es la velocidad constante a la que se mueve todo el fluido antes de ser perturbado (equivalente a un observador en movimiento) y es la velocidad del fluido.
En este caso, las ecuaciones se ven muy similares:
Tenga en cuenta que el ajuste devuelve las ecuaciones en reposo.
Ondas linealizadas
Comenzando con las ecuaciones de movimiento dadas anteriormente para un medio en reposo:
Consideremos ahora que todos son pequeñas cantidades.
En el caso de que mantengamos los términos en primer orden, para la ecuación de continuidad, tenemos el término que va a 0. Esto se aplica de manera similar para la perturbación de densidad multiplicada por la derivada de la velocidad en el tiempo. Además, los componentes espaciales de la derivada material van a 0. Así tenemos, al reordenar la densidad de equilibrio:
A continuación, dado que nuestra onda de sonido ocurre en un fluido ideal, el movimiento es adiabático, y luego podemos relacionar el pequeño cambio en la presión con el pequeño cambio en la densidad por
Bajo esta condición, vemos que ahora tenemos
Definición de la velocidad del sonido del sistema:
Todo se vuelve
Para Fluidos Irrotacionales
En el caso de que el fluido sea irrotacional, es decir , podemos escribir y así escribir nuestras ecuaciones de movimiento como
La segunda ecuación nos dice que
Y el uso de esta ecuación en la ecuación de continuidad nos dice que
Esto simplifica a
Por tanto, el potencial de velocidad obedece a la ecuación de onda en el límite de pequeñas perturbaciones. Las condiciones de contorno requeridas para resolver el potencial provienen del hecho de que la velocidad del fluido debe ser normal a las superficies fijas del sistema.
Tomando la derivada en el tiempo de esta ecuación de onda y multiplicando todos los lados por la densidad no perturbada, y luego usando el hecho que nos dice que
Del mismo modo, vimos eso . Por lo tanto, podemos multiplicar la ecuación anterior de manera apropiada y ver que
Por tanto, el potencial de velocidad, la presión y la densidad obedecen a la ecuación de onda. Además, solo necesitamos resolver una de esas ecuaciones para determinar las otras tres. En particular, tenemos
Para un medio en movimiento
Nuevamente, podemos derivar el límite de pequeñas perturbaciones para las ondas sonoras en un medio en movimiento. Nuevamente, comenzando con
Podemos linealizarlos en
Para fluidos de irritación en un medio en movimiento
Dado que vimos que
Si hacemos las suposiciones anteriores de que el fluido es ideal y la velocidad es irrotacional, entonces tenemos
Bajo estos supuestos, nuestras ecuaciones de sonido linealizadas se convierten en
Es importante destacar que, dado que es una constante, tenemos , y luego la segunda ecuación nos dice que
O solo eso
Ahora, cuando usamos esta relación con el hecho de que , además de cancelar y reorganizar términos, llegamos a
Podemos escribir esto en una forma familiar como
Esta ecuación diferencial debe resolverse con las condiciones de contorno adecuadas. Tenga en cuenta que el ajuste nos devuelve la ecuación de onda. Independientemente, al resolver esta ecuación para un medio en movimiento, tenemos
Ver también
Referencias
-
Landau, LD; Lifshitz, EM (1984). Mecánica de fluidos (2ª ed.). ISBN 0-7506-2767-0.
-
Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Mecánica de fluidos (1ª ed.). ISBN 0-486-43261-0.