Teorema de Abel-Ruffini - Abel–Ruffini theorem

En matemáticas , el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no hay solución en radicales para ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios . Aquí, general significa que los coeficientes de la ecuación se ven y manipulan como indeterminados .

El teorema lleva el nombre de Paolo Ruffini , quien hizo una demostración incompleta en 1799, y Niels Henrik Abel , quien proporcionó una demostración en 1824.

El teorema de Abel-Ruffini también se refiere al resultado ligeramente más fuerte de que hay ecuaciones de grado cinco y superiores que no se pueden resolver con radicales. Esto no se sigue del enunciado del teorema de Abel, pero es un corolario de su demostración, ya que su demostración se basa en el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Esta afirmación mejorada se deriva directamente de la teoría de Galois § Un ejemplo quíntico no resoluble . La teoría de Galois implica también que

es la ecuación más simple que no se puede resolver en radicales y que casi todos los polinomios de grado cinco o superior no se pueden resolver en radicales.

La imposibilidad de resolver en grado cinco o superior contrasta con el caso de grado menor: se tiene la fórmula cuadrática , la fórmula cúbica y la fórmula cuártica para los grados dos, tres y cuatro, respectivamente.

Contexto

Las ecuaciones polinómicas de grado dos se pueden resolver con la fórmula cuadrática , que se conoce desde la antigüedad . De manera similar, la fórmula cúbica para el grado tres y la fórmula cuártica para el grado cuatro se encontraron durante el siglo XVI. En ese momento, un problema fundamental era si las ecuaciones de grado superior podían resolverse de manera similar.

El hecho de que toda ecuación polinomial de grado positivo tiene soluciones, posiblemente no reales , se afirmó durante el siglo XVII, pero se demostró completamente solo a principios del siglo XIX. Este es el teorema fundamental del álgebra , que no proporciona ninguna herramienta para calcular exactamente las soluciones, aunque el método de Newton permite aproximar las soluciones a la precisión deseada.

Desde el siglo XVI hasta principios del XIX, el principal problema del álgebra fue buscar una fórmula para las soluciones de ecuaciones polinomiales de grado cinco y superior, de ahí el nombre de "teorema fundamental del álgebra". Esto significaba una solución en radicales , es decir, una expresión que implica sólo los coeficientes de la ecuación, y las operaciones de adición , substracción , multiplicación , división , y n º extracción de la raíz .

El teorema de Abel-Ruffini prueba que esto es imposible. Sin embargo, esta imposibilidad no implica que una ecuación específica de cualquier grado no pueda resolverse en radicales. Por el contrario, existen ecuaciones de cualquier grado que se pueden resolver en radicales. Este es el caso de la ecuación para cualquier n , y las ecuaciones definidas por polinomios ciclotómicos , cuyas soluciones pueden expresarse en radicales.

La demostración del teorema de Abel no contiene explícitamente la afirmación de que hay ecuaciones específicas que no pueden resolverse con radicales. Tal afirmación no es una consecuencia del enunciado del teorema de Abel, ya que el enunciado no excluye la posibilidad de que "cada ecuación quíntica particular pueda ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación". Sin embargo, la existencia de ecuaciones específicas que no se pueden resolver en radicales parece ser una consecuencia de la prueba de Abel, ya que la prueba utiliza el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes no son el polinomio cero y, dado un número finito de polinomios, hay son valores de las variables en las que ninguno de los polinomios toma el valor cero.

Poco después de la publicación de Abel de su demostración, Évariste Galois introdujo una teoría, ahora llamada teoría de Galois, que permite decidir, para cualquier ecuación dada, si se puede resolver en radicales (esto es teórico, ya que, en la práctica, esta decisión puede necesitar un gran cálculo que puede ser difícil, incluso con computadoras potentes ). Esta decisión se realiza mediante la introducción de polinomios auxiliares, llamados solventes , cuyos coeficientes dependen polinomialmente de los del polinomio original. El polinomio se puede resolver en radicales si y solo si algún resolutivo tiene una raíz racional .

Prueba

La demostración del teorema de Abel-Ruffini es anterior a la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois permite una mejor comprensión del tema, y ​​las pruebas modernas generalmente se basan en ella, mientras que las pruebas originales del teorema de Abel-Ruffini todavía se presentan con fines históricos.

Las demostraciones basadas en la teoría de Galois comprenden cuatro pasos principales: la caracterización de ecuaciones solubles en términos de teoría de campo ; el uso de la correspondencia de Galois entre subcampos de un campo dado y los subgrupos de su grupo de Galois para expresar esta caracterización en términos de grupos solubles ; la prueba de que el grupo simétrico no se puede resolver si su orden es cinco o más; y la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Soluciones algebraicas y teoría de campos

Una solución algebraica de una ecuación polinomial es una expresión que involucra las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y extracciones de raíces . Tal expresión puede verse como la descripción de un cálculo que comienza con los coeficientes de la ecuación a resolver y continúa calculando algunos números, uno tras otro.

En cada paso del cálculo, se puede considerar el campo más pequeño que contiene todos los números que se han calculado hasta ahora. Este campo sólo se cambia para las etapas que implican el cálculo de un n º raíz.

Entonces, una solución algebraica produce una secuencia

de campos, y elementos tales que para con para algún número entero Existe una solución algebraica de la ecuación polinomial inicial si y solo si existe tal secuencia de campos que contiene una solución.

Para tener extensiones normales , que son fundamentales para la teoría, se debe refinar la secuencia de campos de la siguiente manera. Si no contiene todos los -ésimos raíces de la unidad , se introduce el campo que se extiende por una raíz primitiva de la unidad , y uno redefine como

Entonces, si se parte de una solución en términos de radicales, se obtiene una secuencia creciente de campos tal que el último contiene la solución, y cada uno es una extensión normal del anterior con un grupo de Galois que es cíclico .

Por el contrario, si uno tiene tal secuencia de campos, la ecuación se puede resolver en términos de radicales. Para demostrarlo, basta con demostrar que se puede construir una extensión normal con un grupo de Galois cíclico a partir de una sucesión de extensiones radicales .

Correspondencia de Galois

La correspondencia de Galois establece una correspondencia uno a uno entre las subextensiones de una extensión de campo normal y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión. Esta correspondencia asigna un campo K tal que el grupo de Galois de los automorfismos de F que salen de K fijo, y, a la inversa, los mapas de un subgrupo H de al campo de los elementos de F corregidos por H .

La sección anterior muestra que una ecuación se puede resolver en términos de radicales si y solo si el grupo de Galois de su campo de división (el campo más pequeño que contiene todas las raíces) se puede resolver , es decir, contiene una secuencia de subgrupos tal que cada uno es normales en la anterior, con un grupo cociente que es cíclico . (Los grupos solubles se definen comúnmente con grupos abelianos en lugar de cocientes cíclicos, pero el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos muestra que las dos definiciones son equivalentes).

Entonces, para probar el teorema de Abel-Ruffini, queda por probar que el grupo simétrico no se puede resolver y que hay polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Grupos simétricos solubles

Para n > 4 , el grupo simétrico de grado n tiene solo el grupo alterno como un subgrupo normal no trivial (ver Grupo simétrico § Subgrupos normales ). Para n > 4 , el grupo alterno no es abeliano y simple (es decir, no tiene ningún subgrupo normal no trivial. Esto implica que ambos y no se pueden resolver para n > 4. Por lo tanto, el teorema de Abel-Ruffini resulta de la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico; esto se mostrará en la siguiente sección.

Por otro lado, para n ≤ 4 , el grupo simétrico y todos sus subgrupos son solubles. De alguna manera, esto explica la existencia de las fórmulas cuadrática , cúbica y cuártica .

Polinomios con grupos de Galois simétricos

Ecuación general

La ecuación polinomial general o genérica de grado n es la ecuación

donde son distintos indeterminados . Esta es una ecuación definida sobre el campo de las fracciones racionales en con números racionales coeficientes. El teorema de Abel-Ruffini original afirma que, para n > 4 , esta ecuación no se puede resolver en radicales. En vista de las secciones anteriores, esto resulta del hecho de que el grupo de Galois sobre F de la ecuación es el grupo simétrico (este grupo de Galois es el grupo de los automorfismos de campo del campo de división de la ecuación que fijan los elementos de F , donde el campo de división es el campo más pequeño que contiene todas las raíces de la ecuación).

Para demostrar que el grupo Galois lo es , es más sencillo empezar desde las raíces. Sean nuevos indeterminados, destinados a ser las raíces, y consideremos el polinomio

Dejado ser el campo de las fracciones racionales en y ser su subcampo generada por los coeficientes de las permutaciones de los inducir automorfismos de H . Las fórmulas de Vieta implican que cada elemento de K es una función simétrica de y, por lo tanto, está fijado por todos estos automorfismos. De ello se deduce que el grupo de Galois es el grupo cíclico

El teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que el son independiente algebraica , y por lo tanto que el mapa que envía cada al correspondiente es un isomorfismo campo de F a K . Esto significa que se puede considerar como una ecuación genérica. Esto completa la prueba de que el grupo de Galois de una ecuación general es el grupo simétrico y, por lo tanto, prueba el teorema de Abel-Ruffini original, que afirma que la ecuación polinomial general de grado n no se puede resolver en radicales para n > 4 .

Ejemplo explícito

El grupo de Galois de la quíntica es el grupo simétrico ; por tanto, esta quíntica no se puede resolver en radicales.

Para probar esto, se puede usar que el módulo de reducción a primo p induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo de Galois de q al grupo de Galois de Esto implica que la secuencia de los grados de los factores irreductibles de es la secuencia de las longitudes de los ciclos de alguna permutación en el grupo de Galois de q .

Dado que q es módulo irreducible3 , el grupo de Galois de q contiene una permutación circular de orden cinco. Modulo2 , uno tiene y los dos factores son irreductibles. Esto implica que el grupo de Galois de q contiene una permutación cuyo cubo es una transposición que intercambia dos raíces. Dado que el grupo simétrico es generada por un ciclo de longitud cinco y una transposición (véase el grupo simétrico § Generadores y relaciones ), esto demuestra que el grupo de Galois de q es y que no es soluble en los radicales.

Cayley's resolutivo

Se puede probar si una quintica específica se puede resolver en radicales usando el resolutivo de Cayley . Se trata de un polinomio univariado de grado seis cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de una quintica genérica. Un quintico irreducible específico se puede resolver en radicales si y solo cuando sus coeficientes se sustituyen en el resolutivo de Cayley, el polinomio séxtico resultante tiene una raíz racional .

Historia

Hacia 1770, Joseph Louis Lagrange inició las bases que unificaron los múltiples trucos que se habían utilizado hasta ese momento para resolver ecuaciones, relacionándolas con la teoría de grupos de permutaciones , en forma de solventes de Lagrange . Este trabajo innovador de Lagrange fue un precursor de la teoría de Galois, y su incapacidad para desarrollar soluciones para ecuaciones de quinto grado y grados superiores insinuó que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionó una prueba concluyente. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver quínticas por radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss , quien escribió en 1798 en la sección 359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae (que se publicaría sólo en 1801) que "hay pocas dudas que este problema no desafía tanto los métodos de análisis modernos como que propone lo imposible ". Al año siguiente, en su tesis , escribió: "Después de que el trabajo de muchos geómetras dejara pocas esperanzas de llegar a la resolución de la ecuación general algebraicamente, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria". Y agregó: "Quizás no sea tan difícil probar, con todo rigor, la imposibilidad del quinto grado. Expondré mis investigaciones sobre esto con mayor detalle en otro lugar". En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema.

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

El teorema fue casi probado por primera vez por Paolo Ruffini en 1799. Envió su demostración a varios matemáticos para que la reconocieran, entre ellos Lagrange (que no respondió) y Augustin-Louis Cauchy , quien le envió una carta diciendo: "Sus memorias sobre la solución general de ecuaciones es un trabajo que siempre he creído que los matemáticos deberían tener en cuenta y que, en mi opinión, demuestra de manera concluyente la insolubilidad algebraica de las ecuaciones generales de grado superior al cuarto grado ". Sin embargo, en general, la prueba de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: "El primero y, si no me equivoco, el único que, antes que yo, ha tratado de probar la imposibilidad de la solución algebraica de ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero sus memorias son tan complicadas que es muy Es difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es completamente satisfactorio ".

La prueba también, como se descubrió más tarde, estaba incompleta. Ruffini asumió que todos los radicales con los que estaba tratando podían expresarse a partir de las raíces del polinomio utilizando únicamente operaciones de campo; en términos modernos, asumió que los radicales pertenecían al campo de división del polinomio. Para ver por qué esto es realmente una suposición adicional, considere, por ejemplo, el polinomio . Según la fórmula de Cardano , una de sus raíces (todas, en realidad) se puede expresar como la suma de una raíz cúbica de con una raíz cúbica de . Por otra parte, dado que , , , y , las raíces , y de son todos reales y por lo tanto el campo es un subcampo de la . Pero entonces los números no pueden pertenecer a . Si bien Cauchy no se dio cuenta de la suposición de Ruffini o sintió que era menor, la mayoría de los historiadores creen que la prueba no estaba completa hasta que Abel probó el teorema de las irracionalidades naturales, que afirma que la suposición es válida en el caso de polinomios generales. El teorema de Abel-Ruffini generalmente se le atribuye a Abel, quien publicó una prueba comprimida en solo seis páginas en 1824 (Abel adoptó un estilo muy conciso para ahorrar papel y dinero: la prueba se imprimió por su cuenta). La versión de la prueba se publicaría en 1826.

Demostrar que las ecuaciones quínticas generales (y superiores) eran irresolubles por radicales no resolvió completamente el asunto, porque el teorema de Abel-Ruffini no proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decir con precisión qué ecuaciones quínticas (y superiores) son irresolubles por radicales. Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando murió en 1829.

Según Nathan Jacobson , "las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron reemplazadas por el logro culminante de esta línea de investigación: los descubrimientos de Galois en la teoría de ecuaciones". En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solubilidad por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado esquemática y por dar una condición en términos de las raíces del ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois estaba al tanto de las contribuciones de Ruffini y Abel, ya que escribió "Es una verdad común, hoy, que la ecuación general de grado mayor que 4 no puede ser resuelta por radicales ... esta verdad se ha vuelto común (de oídas) a pesar de el hecho de que los geómetras hayan ignorado las pruebas de Abel y Ruffini ... "Galois murió entonces en 1832 y su artículo Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunos de sus propias explicaciones. Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la Academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. Pierre Wantzel publicó una simplificación de la prueba de Abel en 1845. Cuando Wantzel la publicó, ya conocía las contribuciones de Galois y menciona que, mientras que la demostración de Abel es válida solo para polinomios generales, el enfoque de Galois puede usarse para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no se pueden expresar en radicales a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una prueba topológica del teorema de Abel-Ruffini, que sirvió como punto de partida para la teoría topológica de Galois .

Referencias