Número de Aleph - Aleph number

Aleph-nught, aleph-zero o aleph-null, el número cardinal infinito más pequeño

En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números aleph son una secuencia de números que se utilizan para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados . Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor y llevan el nombre del símbolo que usó para denotarlos, la letra hebrea aleph ( ). ${\ Displaystyle \, \ aleph \,}$

La cardinalidad de los números naturales es (lea aleph-nught o aleph-zero ; el término aleph-null también se usa a veces), la siguiente cardinalidad más grande de un conjunto bien ordenable es aleph-one , y así sucesivamente. Continuando de esta manera, es posible definir un número cardinal para cada número ordinal como se describe a continuación. ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \ ;,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {2} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ alpha} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ alpha \ ;,}$

El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades .

Los números de aleph difieren del infinito ( ) que se encuentra comúnmente en álgebra y cálculo, en que los alephs miden el tamaño de los conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la recta numérica real (aplicado a una función o secuencia que " diverge al infinito "o" aumenta sin límite "), o como un punto extremo de la recta numérica real extendida . ${\ Displaystyle \, \ infty \,}$

Aleph-nada

${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$(aleph-nught, también aleph-zero o aleph-null) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado o (donde está la letra griega minúscula omega ), tiene cardinalidad Un conjunto tiene cardinalidad si y solo si es infinito numerable , es decir, hay una biyección (correspondencia uno a uno) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son ${\ Displaystyle \, \ omega \,}$${\ Displaystyle \, \ omega _ {0} \,}$${\ Displaystyle \, \ omega \,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \ ;.}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$

• el conjunto de todos los números enteros ,
• cualquier subconjunto infinito de números enteros, como el conjunto de todos los números cuadrados o el conjunto de todos los números primos ,
• el conjunto de todos los números racionales ,
• el conjunto de todos los números construibles (en el sentido geométrico),
• el conjunto de todos los números algebraicos ,
• el conjunto de todos los números computables ,
• el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud finita, y
• el conjunto de todos los subconjuntos finitos de cualquier conjunto numerable infinito dado.

Estos infinitos ordinales: y se encuentran entre los conjuntos numerables infinitos. Por ejemplo, la secuencia (con ordinalidad ω · 2) de todos los enteros impares positivos seguidos de todos los enteros pares positivos ${\ Displaystyle \, \ omega \ ;,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega +1 \ ;,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega \, \ cdot 2 \ ,, \,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega ^ {2} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \, \ omega ^ {\ omega} \,}$${\ Displaystyle \, \ varepsilon _ {0} \,}$

${\ Displaystyle \, \ {\, 1,3,5,7,9, ..., 2,4,6,8,10, ... \, \} \,}$

es un ordenamiento del conjunto (con cardinalidad ) de enteros positivos. ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Si se cumple el axioma de elección contable (una versión más débil del axioma de elección ), entonces es más pequeño que cualquier otro cardinal infinito. ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$

Aleph-uno

${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \,}$es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables , llamados o algunas veces. Este es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los contables, por lo que es un conjunto incontable . Por lo tanto, es diferente de La definición de implica (en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que ningún número cardinal está entre y Si se usa el axioma de elección , se puede demostrar además que la clase de números cardinales está totalmente ordenado y, por tanto, es el segundo número cardinal infinito más pequeño. Usando el axioma de elección, uno puede mostrar una de las propiedades más útiles del conjunto de cualquier subconjunto contable tiene un límite superior en (Esto se sigue del hecho de que la unión de un número contable de conjuntos contables es en sí misma contable - uno de los aplicaciones más comunes del axioma de elección.) Este hecho es análogo a la situación en que todo conjunto finito de números naturales tiene un máximo que también es un número natural, y las uniones finitas de conjuntos finitos son finitas. ${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$${\ Displaystyle \, \ Omega \ ;.}$${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \ ;.}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \ ;.}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {1} \,}$${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} ~:}$${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} ~.}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} ~:}$

${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} \,}$es en realidad un concepto útil, aunque suene algo exótico. Una aplicación de ejemplo es "cerrar" con respecto a operaciones contables; por ejemplo, tratando de describir explícitamente el σ-álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos (ver, por ejemplo, la jerarquía de Borel ). Esto es más difícil que la mayoría de las descripciones explícitas de "generación" en álgebra ( espacios vectoriales , grupos , etc.) porque en esos casos solo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas: sumas, productos y similares. El proceso implica definir, para cada ordinal contable, mediante inducción transfinita , un conjunto " incorporando " todas las uniones y complementos contables posibles, y tomando la unión de todo eso por encima de todo${\ Displaystyle \, \ omega _ {1} ~.}$

Hipótesis del continuo

La cardinalidad del conjunto de números reales ( cardinalidad del continuo ) es No se puede determinar a partir de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada con el axioma de elección ) donde este número encaja exactamente en la jerarquía de números aleph, pero se sigue de ZFC que la hipótesis del continuo, CH , es equivalente a la identidad ${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} ~.}$

${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1} ~}$

El CH establece que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los enteros y los números reales. CH es independiente de ZFC : no se puede probar ni refutar dentro del contexto de ese sistema de axiomas (siempre que ZFC sea consistente ). Que CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando demostró que su negación no es un teorema de ZFC . Paul Cohen demostró que es independiente de ZFC en 1963, cuando mostró a la inversa que el CH en sí no es un teorema de ZFC , mediante el método (entonces novedoso) de forzar .

Aleph-omega

Aleph-omega es

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ sup \, \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ omega \} = \ sup \, \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ dots \, \ right \} \, \} ~}$

donde el ordinal infinito más pequeño se denota ω . Es decir, el número cardinal es el límite superior mínimo de ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ omega} \,}$

${\ Displaystyle \ left \ {\, \ aleph _ {n}: n \ in \ left \ {\, 0,1,2, \ dots \, \ right \} \, \ right \} ~.}$

${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ omega} \,}$es el primer número cardinal incontable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que no es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales ; para cualquier entero positivo n podemos suponer consistentemente que y además es posible suponer que es tan grande como queramos. Solo nos vemos obligados a evitar establecerlo en ciertos cardenales especiales con cofinalidad, lo que significa que hay una función ilimitada desde allí (ver el teorema de Easton ). ${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {n} ~,}$${\ Displaystyle \, 2 ^ {\ aleph _ {0}} \,}$ ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} ~,}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {0} \,}$

Aleph-α para α general

Para definir un número ordinal arbitrario , debemos definir la operación cardinal sucesora , que asigna a cualquier número cardinal el siguiente cardinal bien ordenado más grande (si el axioma de elección se cumple, este es el siguiente cardinal más grande). ${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ alpha} \,}$${\ Displaystyle \, \ alpha ~,}$${\ Displaystyle \, \ rho \,}$${\ Displaystyle \, \ rho ^ {+} \,}$

Entonces podemos definir los números de aleph de la siguiente manera:

${\ Displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1} = \ aleph _ {\ alpha} ^ {+} ~}$

y para λ , un ordinal límite infinito ,

${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda} = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} \ aleph _ {\ beta} ~.}$

Se escribe el ordinal inicial infinito α-ésimo . Su cardinalidad está escrita En ZFC, la función aleph es una biyección de los ordinales a los infinitos cardinales. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ alpha} ~.}$ ${\ Displaystyle \, \ aleph \,}$

Puntos fijos de omega

Para cualquier α ordinal tenemos

${\ Displaystyle \ alpha \ leq \ omega _ {\ alpha} ~.}$

En muchos casos es estrictamente mayor que α . Por ejemplo, para cualquier ordinal sucesor α esto es válido. Sin embargo, existen algunos ordinales límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema de punto fijo para funciones normales . El primero es el límite de la secuencia. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle \ omega, \, \ omega _ {\ omega}, \, \ omega _ {\ omega _ {\ omega}}, \, \ ldots ~.}$

Cualquier cardenal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función aleph. Esto se puede mostrar en ZFC de la siguiente manera. Supongamos que es un cardenal débilmente inaccesible. Si fuera un sucesor ordinal , entonces sería un sucesor cardenal y, por tanto, no débilmente inaccesible. Si un límite ordinal fuera menor que , su cofinalidad (y por lo tanto la cofinalidad de ) sería menor que y, por lo tanto , no sería regular y, por lo tanto , no sería débilmente inaccesible. Por tanto, y en consecuencia, lo que lo convierte en un punto fijo. ${\ Displaystyle \, \ kappa = \ aleph _ {\ lambda} \,}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \, \ aleph _ {\ lambda} \,}$${\ Displaystyle \, \ lambda \,}$${\ Displaystyle \, \ kappa ~,}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \, \ kappa \,}$${\ Displaystyle \, \ kappa \,}$${\ Displaystyle \, \ lambda \ geq \ kappa \,}$${\ Displaystyle \, \ lambda = \ kappa \,}$

Papel del axioma de elección

La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Cada aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de estos es su ordinal inicial . Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea un aleph es equinumerable con un ordinal y, por lo tanto, se puede ordenar correctamente .

Cada conjunto finito se puede ordenar bien, pero no tiene un aleph como cardinalidad.

La suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph es equivalente sobre ZF a la existencia de un buen orden de cada conjunto, que a su vez es equivalente al axioma de elección . La teoría de conjuntos de ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que todo conjunto infinito tiene un número aleph como cardinalidad (es decir, es equinumérico con su ordinal inicial) y, por lo tanto, los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos. posibles números cardinales infinitos.

Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible probar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son exactamente los conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados. El método del truco de Scott a veces se usa como una forma alternativa de construir representantes de números cardinales en el entorno de ZF. Por ejemplo, se puede definir carta ( S ) como el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que S de rango mínimo posible. Esto tiene la propiedad de que card ( S ) = card ( T ) si y solo si S y T tienen la misma cardinalidad. (La carta del conjunto ( S ) no tiene la misma cardinalidad de S en general, pero todos sus elementos sí la tienen).

Ver también

• Beth número
• Función gimel
• Cardenal regular
• Número transfinito
• Número ordinal

Notas

Citas

enlaces externos

• "Aleph-zero" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0" . MathWorld .